Integrale triplo
Salve a tutti nn riesco a risolvere questo integrale potete aiutarmi grazie anticipatamente!!!:
Calcolare l'integrale triplo:
Integrale esteso a T di : 1 / radice quadrata di: 1+3x^2+2y^2 dxdydz
dove T è il solido delimitato dal paraboloide z=3x^2+2y^2 e dal piano z=1.
Io ho provato a portarlo in coordinate sferiche ma penso di aver sbagliato anche perchè nn riesco a trovarmi i domini di
integrazione... qualcuno può aiutarmi?? grazie!!
Calcolare l'integrale triplo:
Integrale esteso a T di : 1 / radice quadrata di: 1+3x^2+2y^2 dxdydz
dove T è il solido delimitato dal paraboloide z=3x^2+2y^2 e dal piano z=1.
Io ho provato a portarlo in coordinate sferiche ma penso di aver sbagliato anche perchè nn riesco a trovarmi i domini di
integrazione... qualcuno può aiutarmi?? grazie!!
Risposte
Non son più comode le cilindriche (coordinate)?
quindi quando si tratta di un paraboloide conviene usare le cilindriche??il problema è che come si ricavano gli estremi
e poi conviene integrare rispetto al piano xy oppure xz....oppure è lo stesso?
e poi conviene integrare rispetto al piano xy oppure xz....oppure è lo stesso?
Provo a scrivere quello che ho tentato di fare, sperando di non aver fatto un pasticcio con i simboli.
Poichè l'intersezione tra paraboloide e piano è un ellisse scrivo il dominio di integrazione come $T = {(-1/sqrt(3)<=x<=1/sqrt(3)),(-sqrt(3/2) sqrt(1/3-x^2)<=y<=sqrt(3/2) sqrt(1/3-x^2)), (3x^2+2y^2<=z<=1):}$.
Integro in $dz$ ottenendo $int int int_T 1/sqrt(1+3x^2+2y^2) dV = int int_R (int_(3x^2+2y^2)^1 1/sqrt(1+3x^2+2y^2) dz) dx dy = int int_R (1-3x^2-2y^2)/sqrt(1+3x^2+2y^2) dx dy$.
Rimane quindi da integrare sulla regione delimitata dall'ellisse $R = {(-1/sqrt(3)<=x<=1/sqrt(3)),(-sqrt(3/2) sqrt(1/3-x^2)<=y<=sqrt(3/2) sqrt(1/3-x^2)):}$.
Faccio la sostituzione ${(x'=(1/sqrt(2))/(1/sqrt(3))x),(y'=y):}$, che trasforma il dominio di integrazione in $R' = {(-1/sqrt(2)<=x<=1/sqrt(2)),(-sqrt(1/2-x^2)<=y<=sqrt(1/2-x^2)):}$.
Lo jacobiano della sostituzione è $sqrt(2/3)$.
Questo dominio può facilmente essere trasformato in coordinate polari, che risultano essere $R'' = {(0<=r<=1/sqrt(2)),(0<=theta<=2 pi):}$.
Inserendo tutti i passaggi fatti si ottiene $int_(-1/sqrt(3))^(1/sqrt(3)) (int_(-sqrt(3/2) sqrt(1/3-x^2))^(sqrt(3/2) sqrt(1/3-x^2)) (1-3x^2-2y^2)/sqrt(1+3x^2+2y^2) dy) dx = sqrt(2/3) int_(-1/sqrt(2))^(1/sqrt(2)) (int_(-sqrt(1/2-x^2))^(sqrt(1/2-x^2)) (1-2(x'^2+y'^2))/sqrt(1+2(x'^2+y'^2)) dy') dx'= sqrt(2/3) int_0^(1/sqrt(2)) (int_0^(2 pi) (1-2r^2)/sqrt(1+2r^2) r d theta) dr = 2 pi sqrt(2/3) int_0^b (1-2r^2)/sqrt(1+2r^2) r dr$.
Quest'ultimo integrale dovrebbe essere risolvibile senza usare mezzi impossibili, l'ho fatto con Mathematica e mi viene come risultato $((8-5 sqrt(2)) pi) /(3 sqrt(3))$.
Poichè l'intersezione tra paraboloide e piano è un ellisse scrivo il dominio di integrazione come $T = {(-1/sqrt(3)<=x<=1/sqrt(3)),(-sqrt(3/2) sqrt(1/3-x^2)<=y<=sqrt(3/2) sqrt(1/3-x^2)), (3x^2+2y^2<=z<=1):}$.
Integro in $dz$ ottenendo $int int int_T 1/sqrt(1+3x^2+2y^2) dV = int int_R (int_(3x^2+2y^2)^1 1/sqrt(1+3x^2+2y^2) dz) dx dy = int int_R (1-3x^2-2y^2)/sqrt(1+3x^2+2y^2) dx dy$.
Rimane quindi da integrare sulla regione delimitata dall'ellisse $R = {(-1/sqrt(3)<=x<=1/sqrt(3)),(-sqrt(3/2) sqrt(1/3-x^2)<=y<=sqrt(3/2) sqrt(1/3-x^2)):}$.
Faccio la sostituzione ${(x'=(1/sqrt(2))/(1/sqrt(3))x),(y'=y):}$, che trasforma il dominio di integrazione in $R' = {(-1/sqrt(2)<=x<=1/sqrt(2)),(-sqrt(1/2-x^2)<=y<=sqrt(1/2-x^2)):}$.
Lo jacobiano della sostituzione è $sqrt(2/3)$.
Questo dominio può facilmente essere trasformato in coordinate polari, che risultano essere $R'' = {(0<=r<=1/sqrt(2)),(0<=theta<=2 pi):}$.
Inserendo tutti i passaggi fatti si ottiene $int_(-1/sqrt(3))^(1/sqrt(3)) (int_(-sqrt(3/2) sqrt(1/3-x^2))^(sqrt(3/2) sqrt(1/3-x^2)) (1-3x^2-2y^2)/sqrt(1+3x^2+2y^2) dy) dx = sqrt(2/3) int_(-1/sqrt(2))^(1/sqrt(2)) (int_(-sqrt(1/2-x^2))^(sqrt(1/2-x^2)) (1-2(x'^2+y'^2))/sqrt(1+2(x'^2+y'^2)) dy') dx'= sqrt(2/3) int_0^(1/sqrt(2)) (int_0^(2 pi) (1-2r^2)/sqrt(1+2r^2) r d theta) dr = 2 pi sqrt(2/3) int_0^b (1-2r^2)/sqrt(1+2r^2) r dr$.
Quest'ultimo integrale dovrebbe essere risolvibile senza usare mezzi impossibili, l'ho fatto con Mathematica e mi viene come risultato $((8-5 sqrt(2)) pi) /(3 sqrt(3))$.
Forse c'è una soluzione leggermente più facile.
Col cambio di variabile:
x=1/sqrt(3)*rho*cos(theta)
y=1/sqrt(2)*rho*sen(theta)
z=z
L'integrando diventa 1/sqrt(1+rho^2), lo jacobiano viene rho/sqrt(6) e le limitazioni diventano:
0
Col cambio di variabile:
x=1/sqrt(3)*rho*cos(theta)
y=1/sqrt(2)*rho*sen(theta)
z=z
L'integrando diventa 1/sqrt(1+rho^2), lo jacobiano viene rho/sqrt(6) e le limitazioni diventano:
0
Decisamente più semplice, Andrea2976!
Ho avuto anche la conferma che il mio risultato era corretto.
Ho avuto anche la conferma che il mio risultato era corretto.
Grazie EREDIR per avermi risposto e grazie anche a te Andrea!!!!!!
Eredir nn riesco a capire come di sei trovato l'intervallo di y cioè come ottieni questo risultato:
(-sqrt(3/2) sqrt(1/3-x^2)<=y<=sqrt(3/2) sqrt(1/3-x^2))
un'altra cosa poichè nn ho l'editor per leggere....quando scrivi sqrt(3/2) sqrt(1/3-x^2 vuol dire che la radice di 3/2
moltiplica la radice di (1/3-x^2)????
Eredir nn riesco a capire come di sei trovato l'intervallo di y cioè come ottieni questo risultato:
(-sqrt(3/2) sqrt(1/3-x^2)<=y<=sqrt(3/2) sqrt(1/3-x^2))
un'altra cosa poichè nn ho l'editor per leggere....quando scrivi sqrt(3/2) sqrt(1/3-x^2 vuol dire che la radice di 3/2
moltiplica la radice di (1/3-x^2)????
ho cambiato il nick ma sono sempre io Aristotele!!scusate!!! 
!!!
!!!
"folgore":
Eredir nn riesco a capire come di sei trovato l'intervallo di y cioè come ottieni questo risultato:
(-sqrt(3/2) sqrt(1/3-x^2)<=y<=sqrt(3/2) sqrt(1/3-x^2))
L'intersezione tra il piano ed il paraboloide è un ellisse, queste sono le due curve che lo delimitano.
"folgore":
un'altra cosa poichè nn ho l'editor per leggere....quando scrivi sqrt(3/2) sqrt(1/3-x^2 vuol dire che la radice di 3/2
moltiplica la radice di (1/3-x^2)????
Sì. Ti consiglio però di usare MathML, dal momento che leggere le formule in questo modo è un'impresa.
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