Integrale triplo!
Salve ragazzi!!!nn riesco a risolvere questo esercizio:
Calcolare il volume del solido limitato racchiuso tra i paraboloidi z=x^2+y^2 e 3z=4-x^2-y^2
più che altro la mia peplessità è come riesco a ricavarmi l'integrale triplo e ovviamente i suoi estremi di integrazione....
perchè arrivato all'integrale triplo giustamente è fatta...almeno per quanto mi riguarda l'esercizio poi viene da sè....
grazie a tutti ciao!!!se potete rispondete!!!
Calcolare il volume del solido limitato racchiuso tra i paraboloidi z=x^2+y^2 e 3z=4-x^2-y^2
più che altro la mia peplessità è come riesco a ricavarmi l'integrale triplo e ovviamente i suoi estremi di integrazione....
perchè arrivato all'integrale triplo giustamente è fatta...almeno per quanto mi riguarda l'esercizio poi viene da sè....
grazie a tutti ciao!!!se potete rispondete!!!
Risposte
Allora, fai conto di dividere un solido in tanti cubetti infinitesimi e poi di farne la somma. In ultima analisi quindi dovresti fare l'integrale di tali cubetti di volume: $dxdydz$. Il volume da te cercato quindi risulta:
$V=\int_Cdxdydz$, dove C è il volume che sta nell'intersezione dei due paraboloidi. I due parabolidi si intersecano tra loro in $z=1$ e formano una circonferenza di raggio 1, infatti: $z=x^2+y^2=>1=x^2+y^2$. Il vertice del parabolide rivolto verso l'alto è 0, mentre quello dell'altro è: $4/3$. In effetti però è molto piu facile vedere tale volume come racchiuso da una superficie di rotazione. Quindi portiamoci in coordinate cilindriche con questa trasformazione:
${(x=\rho\cos\theta),(y=\rho\sin\theta),(z=z):}$
Quindi adesso basta integrare:
$V=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1\int_0^{\sqrtz}\rhod\rhodz+\int_0^{2\pi}d\theta\int_1^(4/3)\int_{\sqrt{3-4z}}^1\rhod\rhodz=2/3\pi$
Non ti svolgo l'integrale, perchè se hai voglia di farlo te sarebe sicuramnete produttivo.
P.S.: Potrebbe anche essere che abbia sbagliato qualche calcolo...
$V=\int_Cdxdydz$, dove C è il volume che sta nell'intersezione dei due paraboloidi. I due parabolidi si intersecano tra loro in $z=1$ e formano una circonferenza di raggio 1, infatti: $z=x^2+y^2=>1=x^2+y^2$. Il vertice del parabolide rivolto verso l'alto è 0, mentre quello dell'altro è: $4/3$. In effetti però è molto piu facile vedere tale volume come racchiuso da una superficie di rotazione. Quindi portiamoci in coordinate cilindriche con questa trasformazione:
${(x=\rho\cos\theta),(y=\rho\sin\theta),(z=z):}$
Quindi adesso basta integrare:
$V=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1\int_0^{\sqrtz}\rhod\rhodz+\int_0^{2\pi}d\theta\int_1^(4/3)\int_{\sqrt{3-4z}}^1\rhod\rhodz=2/3\pi$
Non ti svolgo l'integrale, perchè se hai voglia di farlo te sarebe sicuramnete produttivo.
P.S.: Potrebbe anche essere che abbia sbagliato qualche calcolo...
Il risultato di Cavalli e' uguale a quello trovato da me anche se ,per semplificare
i calcoli, e' (forse) meglio esprimere z in funzione di $rho$ e non viceversa.
Il solido in questione si presenta come una specie di uovo le cui 2 meta'
(non uguali tra loro) hanno come comune base il cerchio $[z=1,0<=x^2+y^2<=1]$
Passando a coordinate cilindriche si trova che il dominio d'integrazione e':
$0<=theta<=2pi,0<=rho<=1,rho^2<=z<=(4-rho^2)/3$
Pertanto si ha:
$V=int_0^(2pi)d theta int_0^1rho drho int_(rho^2)^((4-rho^2)/3)dz=(2pi)/3$
karl
i calcoli, e' (forse) meglio esprimere z in funzione di $rho$ e non viceversa.
Il solido in questione si presenta come una specie di uovo le cui 2 meta'
(non uguali tra loro) hanno come comune base il cerchio $[z=1,0<=x^2+y^2<=1]$
Passando a coordinate cilindriche si trova che il dominio d'integrazione e':
$0<=theta<=2pi,0<=rho<=1,rho^2<=z<=(4-rho^2)/3$
Pertanto si ha:
$V=int_0^(2pi)d theta int_0^1rho drho int_(rho^2)^((4-rho^2)/3)dz=(2pi)/3$
karl
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