Integrale triplo
ragà mi aiutate con questo integrale? t:[x,y,z: z>=sqrt di x^2+y^2 e z^2+x^2+y^2<=2]
determinare l'integrale su t di x^2+y^2 dxdydz utilizzando le coordinate cilindriche....grazie in attesa di risposta.......AIUTO!!!
determinare l'integrale su t di x^2+y^2 dxdydz utilizzando le coordinate cilindriche....grazie in attesa di risposta.......AIUTO!!!
Risposte
Io l'ho fatto in coordiante sferiche perchè è molto piu semplice a mio avviso. Infatti il volume su cui si deve integrare risulta essere una sfera di raggio $\sqrt2$ intersecata con un semicono verticale rovesciato ed equilatero. Quindi facendo questa sostituzione:
$\{(x=\rho\cos\theta\cos\phi),(y=\rho\sin\theta\cos\phi),(z=\rho\sin\phi):}$ dove $\theta$ è l'angolo sula piano orizzontale, metre $\phi$ è l'angolo tra il generico vettore posizione ed il paino orizzontale (di solito si prende con la verticale, ma per questo problema è meglio così).
Si ha quindi: $T={0<=\theta<=2\pi,-\pi/2<=\phi<=\pi/4,\rho<=\sqrt2}$. Chiaramente per fare questa sostituzione bisogna ricordarsi poi di aggiungere alla funzione da integrare lo Jacobiano, ossiail determinante di questa matrice: $((\cos\theta\cos\phi,-\rho\cos\theta\sin\phi,-\rho\sin\theta\cos\phi),(\sin\theta\cos\phi,\rho\sin\theta\sin\phi,\rho\cos\theta\cos\phi),(\sin\phi,\rho\cos\phi,0))$.
sviluppando secondo l'ultima riga si ottienne che esso vale: $-\rho^2\cos\phi$.
quindi sostituendo ci dobbiamo caloclare questo integrale:
$\int_tx^2+y^2dxdydz=\int_T\-rho^4\cos\phid\rhod\phid\theta=\int_0^{\sqrt{2}}\rho^4d\rho\int_0^{2\pi}d\theta\int_{-\pi/2}^{\pi/4}-\cos\phid\phi={2^{7/2}}/5\pi(\sqrt{2}/2+1)$
Se non ho sbagliato qualche conto.
$\{(x=\rho\cos\theta\cos\phi),(y=\rho\sin\theta\cos\phi),(z=\rho\sin\phi):}$ dove $\theta$ è l'angolo sula piano orizzontale, metre $\phi$ è l'angolo tra il generico vettore posizione ed il paino orizzontale (di solito si prende con la verticale, ma per questo problema è meglio così).
Si ha quindi: $T={0<=\theta<=2\pi,-\pi/2<=\phi<=\pi/4,\rho<=\sqrt2}$. Chiaramente per fare questa sostituzione bisogna ricordarsi poi di aggiungere alla funzione da integrare lo Jacobiano, ossiail determinante di questa matrice: $((\cos\theta\cos\phi,-\rho\cos\theta\sin\phi,-\rho\sin\theta\cos\phi),(\sin\theta\cos\phi,\rho\sin\theta\sin\phi,\rho\cos\theta\cos\phi),(\sin\phi,\rho\cos\phi,0))$.
sviluppando secondo l'ultima riga si ottienne che esso vale: $-\rho^2\cos\phi$.
quindi sostituendo ci dobbiamo caloclare questo integrale:
$\int_tx^2+y^2dxdydz=\int_T\-rho^4\cos\phid\rhod\phid\theta=\int_0^{\sqrt{2}}\rho^4d\rho\int_0^{2\pi}d\theta\int_{-\pi/2}^{\pi/4}-\cos\phid\phi={2^{7/2}}/5\pi(\sqrt{2}/2+1)$
Se non ho sbagliato qualche conto.
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