Integrale triplo
Salve a tutti. Mi servirebbe una mano con questo integrale:
Calcolare il volume della regione delimitata dal paraboloide ellittico $z = 2(x^2+y^2)$ e dalla falda superiore del cono di equazione $z^2 = 16(x^2+y^2)$ .
Allora io provato a risolverlo in questo modo: dopo vari sketch in 3 dimensioni (veramente indecenti purtroppo ahaha) ho provato a rappresentare una slice della mia regione di spazio sul piano $xz$. Da lì poi ho capito che si trattava di un solido di rotazione intorno all'asse $z$. Dunque ho usato il teorema di Guldino (in una delle due forme incontrate a lezione) ottenendo:
$Vol(E) = 2\pi \int_{0}^{2}(\int_{2x^2}^{4x}xdz)dx $ e da qui in poi tutto ok.
Il mio problema è che non saprei come fare a risolverlo integrando per fili o per strati: sarò sincero sono ancora poco experienced con questi integrali perciò vorrei che qualcuno mi aiutasse nel fare le seguenti cose:
1-) individuare se sia più conveniente integrare per fili o per strati
2-) impostare i bounds dei vari integrali (o comunque l'impostazione in generale)
Del risultato finale non mi importa, vorrei più che mi spiegaste i vostri ragionamenti quando incontrate un integrale del genere.
P.S. Ripeto che ho pochissima esperienza perciò siate clementi
. Ringrazio in anticipo chi avrà voglia di aiutarmi
Calcolare il volume della regione delimitata dal paraboloide ellittico $z = 2(x^2+y^2)$ e dalla falda superiore del cono di equazione $z^2 = 16(x^2+y^2)$ .
Allora io provato a risolverlo in questo modo: dopo vari sketch in 3 dimensioni (veramente indecenti purtroppo ahaha) ho provato a rappresentare una slice della mia regione di spazio sul piano $xz$. Da lì poi ho capito che si trattava di un solido di rotazione intorno all'asse $z$. Dunque ho usato il teorema di Guldino (in una delle due forme incontrate a lezione) ottenendo:
$Vol(E) = 2\pi \int_{0}^{2}(\int_{2x^2}^{4x}xdz)dx $ e da qui in poi tutto ok.
Il mio problema è che non saprei come fare a risolverlo integrando per fili o per strati: sarò sincero sono ancora poco experienced con questi integrali perciò vorrei che qualcuno mi aiutasse nel fare le seguenti cose:
1-) individuare se sia più conveniente integrare per fili o per strati
2-) impostare i bounds dei vari integrali (o comunque l'impostazione in generale)
Del risultato finale non mi importa, vorrei più che mi spiegaste i vostri ragionamenti quando incontrate un integrale del genere.
P.S. Ripeto che ho pochissima esperienza perciò siate clementi
. Ringrazio in anticipo chi avrà voglia di aiutarmi
Risposte
Ci sono diversi approcci possibili. Ad es. anche senza riconoscere che era un solido di rotazione, comunque la simmetria poteva consigliare di passare a coordinate cilindriche. In questo caso avresti ottenuto dopo il cambio di coordinate:
$V=int_(r=0)^(r=2)int_(z=2r^2)^(z=4r)int_(phi=0)^(phi=2pi)rdrdzdphi$
dove i limiti per r sono stati ottenuti uguagliando le curve.
Risulta facile vedere che integrando rispetto a $phi$ si ottiene la stessa formula di Guldino.
In alternativa se si ragionava per strati si vedeva che per z fissato si ha una superficie data da una corona circolare tra il cerchio di raggio $sqrt(z/2)$ e quello di raggio $z/4$. Se ne conclude che il volume sarà dato
$V=int_(z=0)^(z=8) pi*(z/2-z^2/16)dz =pi(8^2/4-8^3/48) =16/3pi $
$V=int_(r=0)^(r=2)int_(z=2r^2)^(z=4r)int_(phi=0)^(phi=2pi)rdrdzdphi$
dove i limiti per r sono stati ottenuti uguagliando le curve.
Risulta facile vedere che integrando rispetto a $phi$ si ottiene la stessa formula di Guldino.
In alternativa se si ragionava per strati si vedeva che per z fissato si ha una superficie data da una corona circolare tra il cerchio di raggio $sqrt(z/2)$ e quello di raggio $z/4$. Se ne conclude che il volume sarà dato
$V=int_(z=0)^(z=8) pi*(z/2-z^2/16)dz =pi(8^2/4-8^3/48) =16/3pi $
Ah grazie Ingres. Non avevo pensato ad integrare per strati in effetti. Ero fissato a voler risolvere per strati ma non riuscivo a identificare quello che noi a lezione abbiamo chiamato $D_z$, mentre come hai detto tu
si tratta di corone circolari. Non so perché ma mi è proprio sfuggito. Sarà la poca pratica hahahah. Scherzi a parte grazie mille per la risposta
si tratta di corone circolari. Non so perché ma mi è proprio sfuggito. Sarà la poca pratica hahahah. Scherzi a parte grazie mille per la risposta
In caso riporto il mio svolgimento magari servisse a qualcuno. Il risultato tanto è uguale:
Una volta trovati i limiti della$z \in [0,8]$ (l'avevo trovati in precedenza) passo a trovare i bounds del mio pseudo insieme di $RR^2$ che io sono solito chiamare $D_z = {(x,y) \in RR^2| z/4 <= \sqrt(x^2+y^2) <= \sqrt(z/2) }$. Sotto suggerimento di Ingres sono poi passato a coordinate cilindriche per svolgere l'integrale ottenendo:
$ \int _{0}^{8}\int_{0}^{2\pi}\int_{z/4}^{\sqrt(z/2)}\rho d \rho d\theta dz = \cdots = 16/3 \pi$
Spero possa servire a qualcuno
Una volta trovati i limiti della$z \in [0,8]$ (l'avevo trovati in precedenza) passo a trovare i bounds del mio pseudo insieme di $RR^2$ che io sono solito chiamare $D_z = {(x,y) \in RR^2| z/4 <= \sqrt(x^2+y^2) <= \sqrt(z/2) }$. Sotto suggerimento di Ingres sono poi passato a coordinate cilindriche per svolgere l'integrale ottenendo:
$ \int _{0}^{8}\int_{0}^{2\pi}\int_{z/4}^{\sqrt(z/2)}\rho d \rho d\theta dz = \cdots = 16/3 \pi$
Spero possa servire a qualcuno
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