Integrale Triplo
Ciao a tutti,
dovrei calcolare questo integrale $ int int int_()^()(x+y+z) dx dy dz $ sul dominio: $ A={(x,y):R^2; x<=y<=x+1, 0<=z<=x+y} $ .
Ho proprio un problema sull'impostare l'integrale..
Qualcuno sa come fare?
dovrei calcolare questo integrale $ int int int_()^()(x+y+z) dx dy dz $ sul dominio: $ A={(x,y):R^2; x<=y<=x+1, 0<=z<=x+y} $ .
Ho proprio un problema sull'impostare l'integrale..
Qualcuno sa come fare?
Risposte
Ciao! Diciamo che è difficile aiutarti senza darti praticamente la soluzione in mano. Cosa dicono i principali teoremi per gli integrali multipli? Ad esempio, conosci le formule di riduzione (integrazione per fili, integrazione per strati), ecc.? Hai rappresentato graficamente l'insieme?
Ciao grazie..allora
ho provato a fare così tante volte questo integrale che ho incasinato tutto.
Mi viene da pensare di integrare per fili, lasciando dz "interno" e dxdy "esterni".. non so se hai capito..
Dopodichè ho l'integrale doppio solo su x ed y.
Il grafico è l'intersezione delle due rette
y=2x e y=x+1.
E' qua che non so più come andare avanti sinceramente...
ho provato a fare così tante volte questo integrale che ho incasinato tutto.
Mi viene da pensare di integrare per fili, lasciando dz "interno" e dxdy "esterni".. non so se hai capito..
Dopodichè ho l'integrale doppio solo su x ed y.
Il grafico è l'intersezione delle due rette
y=2x e y=x+1.
E' qua che non so più come andare avanti sinceramente...
Ok! L'idea è corretta. Dopo aver pensato di farlo così hai quindi che il primo integrale in $\text{d}z$ avrà come estremo inferiore di integrazione $0$ e come estremo superiore di integrazione $x+y$, questo perché integrare per fili significa proprio quello: determinare un intervallo del tipo $f(x,y) \leq z \leq g(x,y)$ in cui si effettuerà l'integrazione in $\text{d}z$. In questo caso $f(x,y)=0$ e $g(x,y)=x+y$.
Fatto ciò, l'insieme si ridurrà a $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ x \leq y \leq x+1, 0 \leq x+y\}$. Ora bisogna capire come variano gli estremi dell'integrale in $\text{d}x\text{d}y$; provando a ragionare nella stessa maniera, potresti provare ad isolare la $y$ nell'insieme di integrazione e quindi integrare prima in $\text{d}y$ e poi in $\text{d}x$.
A quel punto ti rimarrà da determinare un intervallo (numerico, senza funzioni) in cui varia $x$; per fare ciò potresti provare a ragionare sulle intersezioni.
Fatto ciò, l'insieme si ridurrà a $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \text{t.c.} \ x \leq y \leq x+1, 0 \leq x+y\}$. Ora bisogna capire come variano gli estremi dell'integrale in $\text{d}x\text{d}y$; provando a ragionare nella stessa maniera, potresti provare ad isolare la $y$ nell'insieme di integrazione e quindi integrare prima in $\text{d}y$ e poi in $\text{d}x$.
A quel punto ti rimarrà da determinare un intervallo (numerico, senza funzioni) in cui varia $x$; per fare ciò potresti provare a ragionare sulle intersezioni.
Ciao enni,
Scusa, ma non era $A ={(x,y) \in \RR^2: x<=y<=x+1, 0<=z<=x+y} $ ?
Le due rette che vedo sono $y = x $ e $y = x + 1 $...
"enni":
Il grafico è l'intersezione delle due rette
y=2x e y=x+1.
Scusa, ma non era $A ={(x,y) \in \RR^2: x<=y<=x+1, 0<=z<=x+y} $ ?
Le due rette che vedo sono $y = x $ e $y = x + 1 $...
"pilloeffe":
Ciao enni,
[quote="enni"]Il grafico è l'intersezione delle due rette
y=2x e y=x+1.
Scusa, ma non era $A ={(x,y) \in \RR^2: x<=y<=x+1, 0<=z<=x+y} $ ?
Le due rette che vedo sono $y = x $ e $y = x + 1 $...
[/quote]Ciao pilloeffe....
si effettivamente nello scrivere ho tralasciato il 2x..
Quindi in effetti l'integrale triplo proposto è
$ \int \int \int_A (x+y+z) \text{d}x \text{d}y \text{d}z $
ove $A = {(x, y, z) \in \RR^3: 2x <= y <= x+1, 0 <= z <= x+y} $ ?
$ \int \int \int_A (x+y+z) \text{d}x \text{d}y \text{d}z $
ove $A = {(x, y, z) \in \RR^3: 2x <= y <= x+1, 0 <= z <= x+y} $ ?
Ragazzi grazie infinite a tutti... l'ho capito e mi è venuto!!! 
Beh, adesso che ti è venuto potresti riportare qui di seguito la soluzione...
E' anche un buon esercizio per imparare a scrivere in [tex]\LaTeX[/tex]...
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