Integrale triplo

[ValeForce]

Salve a tutti!
Mi servirebbe un aiuto su questo esercizio:

Calcolare il seguente integrale triplo
$$\iiint\limits_T\frac{dx\,dy\,dz}{z(x^2+y^2)}$$ essendo
$T={(x, y, z)∈R^3: x ≤ y ≤ 2x , z ≤ xy ≤ 2x , 1/4 ≤ z ≤ 1/2}$

Ho integrato per sezioni di piede $z$ ed ho ottenuto:
$$\int\limits_{1/4}^{1/2}dz\iint\limits_{T_z}\frac{dx\,dy}{z(x^2+y^2)}$$
Ma usando le coordinate polari ottengo queste condizioni $ { ( pi/4\le \theta \le \arctan(2) ),( sqrt{\frac{z}{\cos \theta \sin \theta}}\le\rho \le \frac{2}{\sin \theta} ):}$ e mi blocco qui
$$\int\limits_{1/4}^{1/2}\frac{1}{z}\,dz\int\limits_{\pi/4}^{\arctan(2)}\log \left( 2\sqrt{\frac{\cos \theta}{z \sin \theta}}\right)\, d\theta $$
La funzione integranda mi sembra un chiaro invito ad utilizzare le coordinate polari ma poi viene fuori questa roba... Un suggerimento?

[anonymous_0b37e9]

Non mi sembra necessario alcun cambiamento di variabili:

Insieme $A_z$

Tratto AB: $y=x$

Tratto BC: $y=2$

Tratto CD: $y=2x$

Tratto DA: $y=z/x$

Insieme $\Pi_3$

$1/4 lt= z lt= 1/2$

Integrale

$\int_{1/4}^{1/2}dz\int_{sqrtz}^{sqrt(2z)}dy\int_{z/y}^{y}dx1/(z(x^2+y^2))+\int_{1/4}^{1/2}dz\int_{sqrt(2z)}^{2}dy\int_{y/2}^{y}dx1/(z(x^2+y^2))=$

$=\int_{1/4}^{1/2}dz\int_{sqrtz}^{sqrt(2z)}dy[1/(yz)arctg(x/y)]_{z/y}^{y}+\int_{1/4}^{1/2}dz\int_{sqrt(2z)}^{2}dy[1/(yz)arctg(x/y)]_{y/2}^{y}=$

$=\int_{1/4}^{1/2}dz\int_{sqrtz}^{sqrt(2z)}dy1/(yz)[\pi/4-arctg(z/y^2)]+(\pi/4-arctg1/2)\int_{1/4}^{1/2}dz\int_{sqrt(2z)}^{2}dy1/(yz)=$

$=\pi/4\int_{1/4}^{1/2}dz1/z\int_{sqrtz}^{sqrt(2z)}dy1/y-\int_{1/4}^{1/2}dz1/z\int_{sqrtz}^{sqrt(2z)}dy1/yarctg(z/y^2)+(\pi/4-arctg1/2)\int_{1/4}^{1/2}dz1/z\int_{sqrt(2z)}^{2}dy1/y$

[ValeForce]

Grazie per la risposta Sgt. Elias!
In effetti la funzione integranda mi ha proprio accecato e non ho pensato ad utilizzare semplicemente le formule di riduzione. Tuttavia mi sembra ci sia ancora un problema... come risolvo quell'integrale alla fine? Cioè
$$\int \frac{1}{t}\, \arctan\left(\frac{1}{t^2}\right)\,dt$$
Ho comunque provato a spezzare l'insieme $A_z$ nell'altro modo possibile, con la verticale passante per $C$, ma alla fine arrivo ad integrali simili al precedente (forse ho sbagliato?)

[anonymous_0b37e9]

In effetti, quell'integrale è un problema:

A questo punto proverei per fili determinando i due insiemi sottostanti:

Insieme $A_(xy)$

Insieme $\Pi_(12)$

Se non riesci a ridurlo fammi sapere.

[pilloeffe]

Ciao ValeForce e Sergeant Elias,

L'integrale proposto è il seguente:

[tex]\iiint_T \frac{\text{d}x\,\text{d}y\,\text{d}z}{z(x^2+y^2)}[/tex]

ove $ T = {(x, y, z) \in \RR^3: x \le y \le 2x, z \le xy \le 2x, 1/4 \le z \le 1/2} $

Ammetto di non aver provato, ma osservando il dominio $T$ e preso atto che siamo nel primo quadrante quindi con quantità tutte positive, potrebbe essere conveniente un altro cambiamento di variabili, cioè

$v := y/x \implies y = vx \implies 1 <= v <= 2 $

$u := xy \implies x = u/y = u/(vx) \implies x^2 = u/v \implies x = \sqrt{u/v} $

$ z <= u <= 2\sqrt{u/v} $

Quindi $ x^2 + y^2 = u/v + uv $ e $|J| = 1/(2v) > 0 $

[ValeForce]

Ciao pilloeffe,
Avevo tentato anche io quel cambiamento di variabili, ma lo ho subito abbandonato dal momento che nella disuguaglianza $ z \le xy \le 2x$ la $x$ compare anche a destra. Infatti, non posso applicare la formula di riduzione sul nuovo insieme... perché questo $1 \le v \le 2, z\le u \le 2\sqrt{\frac{u}{v}}$ non è un insieme normale, i.e. non si ha $f(v)\le u \le g(v)$ (supponendo che ho integrato per sezioni di piede $z$ e quindi considerandola un parametro).
O volevi suggerire qualcosa di diverso dalle formule di riduzione e non l'ho colto oppure quanto ho appena scritto è errato!

[anonymous_0b37e9]

Ho provato anche per fili:

Insieme $A_(xy)$

$[z lt= xy] ^^ [1/4 lt= z lt= 1/2]$

Intervallo 1

$[1/4 lt= xy lt= 1/2] rarr [1/4 lt= z lt= xy]$

Intervallo 2

$[xy gt= 1/2] rarr [1/4 lt= z lt= 1/2]$

Insieme $\Pi_(12)$

Tratti AB e BC: $y=x$

Tratto CD: $y=2$

Tratti DE e EF: $y=2x$

Tratto FA: $xy=1/4$

Tratto EB: $xy=1/2$

$\int\int_{\Pi_(12)}dxdy\int_{A_(xy)}dz1/(z(x^2+y^2))=$

$=\int\int_{ABEF}dxdy\int_{1/4}^{xy}dz1/(z(x^2+y^2))+\int\int_{BCDE}dxdy\int_{1/4}^{1/2}dz1/(z(x^2+y^2))=$

$=\int\int_{ABEF}dxdyln(4xy)/(x^2+y^2)+\int\int_{BCDE}dxdyln2/(x^2+y^2)=$

$=\int_{\pi/4}^{arctg2}d\theta\int_{1/sqrt(4cos\thetasin\theta)}^{1/sqrt(2cos\thetasin\theta)}d\rholn(4\rho^2cos\thetasin\theta)/\rho+ln2\int_{\pi/4}^{arctg2}d\theta\int_{1/sqrt(2cos\thetasin\theta)}^{2/sin\theta}d\rho1/\rho=$

$=\int_{\pi/4}^{arctg2}d\theta[1/4ln^2(4\rho^2cos\thetasin\theta)]_{1/sqrt(4cos\thetasin\theta)}^{1/sqrt(2cos\thetasin\theta)}+ln2\int_{\pi/4}^{arctg2}d\theta[ln\rho]_{1/sqrt(2cos\thetasin\theta)}^{2/sin\theta}=$

$=1/4ln^2 2int_{\pi/4}^{arctg2}d\theta+ln2\int_{\pi/4}^{arctg2}d\thetaln(2sqrt((2\cos\theta)/sin\theta))$

Tuttavia, anche in questo caso l'ultimo integrale si può esprimere solo in termini della stessa funzione speciale. Ad ogni modo, il problema è il tratto orizzontale CD.

@ pilloeffe

Intanto, grazie del contributo. Pur non avendo esplicitato i conti, sono piuttosto sicuro che, anche con il cambiamento di variabili da te proposto, il tratto orizzontale CD rimarrebbe un problema.

@ ValeForce

Comincio seriamente a pensare che una delle tre condizioni non fosse:

$[z lt= xy lt= 2x]$

piuttosto:

$[z lt= xy lt= 2z]$

In questo caso tutti i nostri contributi acquisterebbero un altro significato.

[ValeForce]

Devo dire che il testo l'ho riportato correttamente. Potremmo concludere che sia un errore di stampa, è ragionevole supporre che in realtà la condizione fosse $z≤xy≤2z$. Infatti in questo caso procedendo come detto da pilloeffe si avrebbe:
$$\int_{1/4}^{1/2}\,dz\int_{1}^{2}dv\int_{z}^{2z}\frac{1}{2zu(1+v^2)}\,du$$
Che è tutto tranquillamente calcolabile.
Grazie per la pazienza @anonymous_0b37e9 e pilloeffe!

[ot]L'esercizio l'ho preso dalla raccolta dei compiti di un professore ormai in pensione. In particolare questo proviene da una prova assegnata il 28 Gennaio 1993 per il cdl in Ingegneria Elettronica. Il testo lo avevo già controllato più volte... Davvero tanti esercizi sono stati svolti anche dal mio prof stesso a lezione ed è capitato solo una volta, che io ricorda, di aver avuto problemi come questi. Da ora in poi sarò più diffidente. Comunque si tratta del Prof. M. Frasca ed il file in questione è reperibile in questo link http://www.dmi.unict.it/~dpuglisi/analisi2.pdf (l'esercizio è il terzo del 2.111)[/ot]