Integrale triplo
Salve a tutti , secondo voi qual è la strada più veloce per risolvere questo integrale ?
$ int_(A)^() y/(z^4 + 1 ) dx $ $A={(x,y,z)in R^3 : 0<=z<=1, x^2+y^2<=z^2 , z<=x+y }$
Ho provato con le coordinate cilindriche e ottengo che $z/(cos(alpha)+sin(alpha))<=rho <=z$ ,$ 0<=alpha<=2pi$ mentre l'integranda diventa $rho^2/(z^4+1)$ , procedendo a risolverlo i calcoli diventano complicati ...consigli?
$ int_(A)^() y/(z^4 + 1 ) dx $ $A={(x,y,z)in R^3 : 0<=z<=1, x^2+y^2<=z^2 , z<=x+y }$
Ho provato con le coordinate cilindriche e ottengo che $z/(cos(alpha)+sin(alpha))<=rho <=z$ ,$ 0<=alpha<=2pi$ mentre l'integranda diventa $rho^2/(z^4+1)$ , procedendo a risolverlo i calcoli diventano complicati ...consigli?
Risposte
Ciao Salvy,
Ci sono un po' di cose che non mi tornano...
Innanzitutto l'integrale, che immagino sia il seguente:
$ \int_A y/(z^4 + 1) \text{d}x \text{d}y \text{d}z $
ove $A = {(x,y,z)\in \RR^3 : 0<=z<=1, x^2+y^2<=z^2 , z<=x+y} $
Poi la funzione integranda che mi risulta $ (\rho^2 sin\alpha)/(z^4 + 1) $
Infine osserverei che $|cos\alpha + sin\alpha| <= sqrt2 $ e che $cos\alpha + sin\alpha = sqrt2 sin(\alpha + \pi/4) $ e quindi $z <= \rho sqrt2 sin(\alpha + \pi/4) \implies z/(sqrt2 \rho) <= sin(\alpha + \pi/4) $ e siccome sia $z $ che $\rho $ sono positivi o al più nulli deve essere anche $ sin(\alpha + \pi/4) >= 0 \implies - \pi/4 <= \alpha <= (3\pi)/4 $
Ci sono un po' di cose che non mi tornano...
Innanzitutto l'integrale, che immagino sia il seguente:
$ \int_A y/(z^4 + 1) \text{d}x \text{d}y \text{d}z $
ove $A = {(x,y,z)\in \RR^3 : 0<=z<=1, x^2+y^2<=z^2 , z<=x+y} $
Poi la funzione integranda che mi risulta $ (\rho^2 sin\alpha)/(z^4 + 1) $
Infine osserverei che $|cos\alpha + sin\alpha| <= sqrt2 $ e che $cos\alpha + sin\alpha = sqrt2 sin(\alpha + \pi/4) $ e quindi $z <= \rho sqrt2 sin(\alpha + \pi/4) \implies z/(sqrt2 \rho) <= sin(\alpha + \pi/4) $ e siccome sia $z $ che $\rho $ sono positivi o al più nulli deve essere anche $ sin(\alpha + \pi/4) >= 0 \implies - \pi/4 <= \alpha <= (3\pi)/4 $
"pilloeffe":
Ciao Salvy,
Ci sono un po' di cose che non mi tornano...
Innanzitutto l'integrale, che immagino sia il seguente:
$ \int_A y/(z^4 + 1) \text{d}x \text{d}y \text{d}z $
ove $A = {(x,y,z)\in \RR^3 : 0<=z<=1, x^2+y^2<=z^2 , z<=x+y} $
Poi la funzione integranda che mi risulta $ (\rho^2 sin\alpha)/(z^4 + 1) $
Infine osserverei che $|cos\alpha + sin\alpha| <= sqrt2 $ e che $cos\alpha + sin\alpha = sqrt2 sin(\alpha + \pi/4) $ e quindi $z <= \rho sqrt2 sin(\alpha + \pi/4) \implies z/(sqrt2 \rho) <= sin(\alpha + \pi/4) $ e siccome sia $z $ che $\rho $ sono positivi o al più nulli deve essere anche $ sin(\alpha + \pi/4) >= 0 \implies - \pi/4 <= \alpha <= (3\pi)/4 $
Ma da dove tiri fuori $sqrt2$?
Ho capito il procedimento , grazie mille
"Salvy":
Ma da dove tiri fuori $\sqrt2$?
Beh, è piuttosto noto che se $\beta = \pi/4 $ si ha $cos\beta = sin\beta = sqrt2/2 $, per cui si può scrivere:
$ sin\alpha + cos\alpha = sin\alpha \cdot 2/2 + cos\alpha \cdot 2/2 = sqrt2 (sin\alpha \cdot sqrt2/2 + cos\alpha \cdot sqrt2/2) = $
$ = sqrt2 (sin\alpha \cdot cos(\pi/4) + cos\alpha \cdot sin(\pi/4)) = sqrt2 sin(\alpha + \pi/4) $
"Salvy":
Ho capito il procedimento , grazie mille
Prego!
"pilloeffe":
Ciao Salvy,
Ci sono un po' di cose che non mi tornano...
Innanzitutto l'integrale, che immagino sia il seguente:
$ \int_A y/(z^4 + 1) \text{d}x \text{d}y \text{d}z $
ove $A = {(x,y,z)\in \RR^3 : 0<=z<=1, x^2+y^2<=z^2 , z<=x+y} $
Poi la funzione integranda che mi risulta $ (\rho^2 sin\alpha)/(z^4 + 1) $
Infine osserverei che $|cos\alpha + sin\alpha| <= sqrt2 $ e che $cos\alpha + sin\alpha = sqrt2 sin(\alpha + \pi/4) $ e quindi $z <= \rho sqrt2 sin(\alpha + \pi/4) \implies z/(sqrt2 \rho) <= sin(\alpha + \pi/4) $ e siccome sia $z $ che $\rho $ sono positivi o al più nulli deve essere anche $ sin(\alpha + \pi/4) >= 0 \implies - \pi/4 <= \alpha <= (3\pi)/4 $
Non vorrei dire una cavolata, ma essendo $z>0$ di conseguenza anche $rho(cos(alpha) +sin(alpha)) >0$ e quindi $cos(alpha) > -sin(alpha) $ e da qui trovo la stessa soluzione. Mi sembra meno "forzato" come procedimento e più semplice, che ne dite?
Come preferisci, ci sono diversi modi di risolvere quella disequazione: l'importante poi è pervenire al risultato corretto... 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo