Integrale triplo
Ciao, ho una domanda.
$ int int int_(D)^()(x^2+y^2)^(3/2) dx dy dz $
Dove D è la regione di spazio interna al cono di equazione x^2+y^2=z e sottostante il piano parallelo al piano xy passante per (2,3,4)
allora, secondo me a monte c'è già un errore perché non è un cono ma un paraboloide (giusto?)
poi, ho integrato per strati tra z(0,4) e su un dominio in $R^2$ nel piano xy quindi $0<=x^2+y^2<=z$ ,ho usato le coordinate polari e mi sono ritrovato con un risultato diverso dal testo, che è (quello del testo) $512/pi$
Vi risulta o avete un altro risultato? Ho sbagliato qualcosa io?
Grazie mille
$ int int int_(D)^()(x^2+y^2)^(3/2) dx dy dz $
Dove D è la regione di spazio interna al cono di equazione x^2+y^2=z e sottostante il piano parallelo al piano xy passante per (2,3,4)
allora, secondo me a monte c'è già un errore perché non è un cono ma un paraboloide (giusto?)
poi, ho integrato per strati tra z(0,4) e su un dominio in $R^2$ nel piano xy quindi $0<=x^2+y^2<=z$ ,ho usato le coordinate polari e mi sono ritrovato con un risultato diverso dal testo, che è (quello del testo) $512/pi$
Vi risulta o avete un altro risultato? Ho sbagliato qualcosa io?
Grazie mille
Risposte
Effettivamente quello è un paraboloide e non un cono. Quanto al risultato, sospetto tu abbia fatto qualche casino, perché più che le coordinate polari, li bisogna usare le coordinate cilindriche.
Eh, io le coordinate polari le ho usate sul dominio xy radiale, dopo ho integrato su z, integro per strati
Ok, è lo stesso di usare le coordinate cilindriche, allora in principio va bene.
A te che risultato dà? Non so se è errore di stampa
Buh. Non ho fatto tutti i conti e non ho intenzione di farli. Comunque, usando le coordinate cilindriche
\[
x=r\cos \phi, \quad y=r\sin \phi, \quad z=z, \]
si ha \(dxdydz=rdrd\phi dz\), la regione \(D\) è data da \(r\le \sqrt z, \ z\in[0, 4]\) (come vedi, è molto semplice), e quindi devi calcolare
\[
\int_0^4dz\int_0^{2\pi}d\phi\int_0^{\sqrt{z}} r^4\, dr.\]
Vedi un po' se finendo questo calcolo ti ritrovi con il tuo risultato. Quello del libro mi pare proprio sbagliato, perché quel \(\pi\) deve stare al numeratore e non al denominatore, esso viene dall'integrale \(\int_0^{2\pi}\, d\phi=2\pi\).
\[
x=r\cos \phi, \quad y=r\sin \phi, \quad z=z, \]
si ha \(dxdydz=rdrd\phi dz\), la regione \(D\) è data da \(r\le \sqrt z, \ z\in[0, 4]\) (come vedi, è molto semplice), e quindi devi calcolare
\[
\int_0^4dz\int_0^{2\pi}d\phi\int_0^{\sqrt{z}} r^4\, dr.\]
Vedi un po' se finendo questo calcolo ti ritrovi con il tuo risultato. Quello del libro mi pare proprio sbagliato, perché quel \(\pi\) deve stare al numeratore e non al denominatore, esso viene dall'integrale \(\int_0^{2\pi}\, d\phi=2\pi\).
Si infatti il pi greco a denominatore non lo comprendevo. Mi dà lo stesso risultato si grazie mille!
Ciao bastian.0,
Scusa, ma quale risultato ti dà?
Salvo errori a me risulta $512/35 \pi $
"bastian.0":
Mi dà lo stesso risultato
Scusa, ma quale risultato ti dà?
Salvo errori a me risulta $512/35 \pi $
Si mi dà proprio quel risultato. Allora si ok errore di stampa. Grazie mille
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