Integrale triplo
Ciao, vi chiedo aiuto su questo esercizio $ int int int_(E)^() sqrt (x^2+y^2) dx dy dz $
Dove $ E = ((x,y,z) in R^3 , 1/2(x^2+y^2)<=z<=x) $
Io prima ho visto il grafico in R2 e ho trovato una intersezione tra la parabola e la retta bisettrice nel piano xz
L'ho visto cosi
$ E=((x,y,z) in R^3 D(x,y) in R^2 t.c. 1/2(x^2+y^2)<=z<=x) $
Con $ D=((x,y) in R^2 t.c. 0<=x^2+y^2<=2x) $
Ho trasformato in coordinate polari
E ho considerato $ Cos theta(sqrt(2)costheta-1)<=0 $
Ma non mi torna theta e non riesco a trovare rho.
Il risultato è 88/75
Vi ringrazio tanto per l'aiuto
Dove $ E = ((x,y,z) in R^3 , 1/2(x^2+y^2)<=z<=x) $
Io prima ho visto il grafico in R2 e ho trovato una intersezione tra la parabola e la retta bisettrice nel piano xz
L'ho visto cosi
$ E=((x,y,z) in R^3 D(x,y) in R^2 t.c. 1/2(x^2+y^2)<=z<=x) $
Con $ D=((x,y) in R^2 t.c. 0<=x^2+y^2<=2x) $
Ho trasformato in coordinate polari
E ho considerato $ Cos theta(sqrt(2)costheta-1)<=0 $
Ma non mi torna theta e non riesco a trovare rho.
Il risultato è 88/75
Vi ringrazio tanto per l'aiuto
Risposte
Nessuno ha idea di come possa essere svolto? Nemmeno il risultato per vedere se coincide col mio per vedere se sbaglio io o è errore di stampa? Alla fine $theta$ l'ho integrata tra $-pi/2$ e $pi/2$ e rho tra $0$ e $2costheta$ usando le coordinate polari rispetto all'origine perché rispetto al polo si complicava abbastanza.
@bastian.0
Il titolo è "integrale triplo", perchè diventa doppio?
Il dominio non è l'intersezione fra una parabola e una retta ma fra un paraboloide ellittico simmetrico e centrato sull'origine e il piano $x-z=0$.
Se vuoi visualizzarlo, disegna gli assi X e Y su un foglio, poi prendi un altro foglio e appoggi un bordo esattamente sull'asse delle Y e lo ruoti finchè non hai una inclinazione di 45° col tavolo. E ora immagina il paraboloide che spunta dall'origine. La parte di paraboloide che resta sotto il foglio è il tuo dominio.
Il titolo è "integrale triplo", perchè diventa doppio?
Il dominio non è l'intersezione fra una parabola e una retta ma fra un paraboloide ellittico simmetrico e centrato sull'origine e il piano $x-z=0$.
Se vuoi visualizzarlo, disegna gli assi X e Y su un foglio, poi prendi un altro foglio e appoggi un bordo esattamente sull'asse delle Y e lo ruoti finchè non hai una inclinazione di 45° col tavolo. E ora immagina il paraboloide che spunta dall'origine. La parte di paraboloide che resta sotto il foglio è il tuo dominio.
Si, nel senso io ho integrato per fili con la coordinata z compresa tra le due funzioni e il dominio in R2 che è una circonferenza di raggio 1 e centro (1,0) quindi si triplo in coordinate cilindriche giusto.
Trovo gli estremi di integrazione che ho detto prima ma sto agendo bene? Quanto porta il risultato? Per sapere se sono ok i calcoli
Trovo gli estremi di integrazione che ho detto prima ma sto agendo bene? Quanto porta il risultato? Per sapere se sono ok i calcoli
E infatti ho sbagliato la parametrizzazione 
$r^2/2<=h<=rcos(theta)$
Quindi l'integrale corretto dovrebbe essere $int_(-pi/2)^(pi/2) int_0^(2cos(theta)) int_(r^2/2)^(rcos(theta)) r^2 dhdrd theta$
P.S. Mi viene 64/75
$r^2/2<=h<=rcos(theta)$
Quindi l'integrale corretto dovrebbe essere $int_(-pi/2)^(pi/2) int_0^(2cos(theta)) int_(r^2/2)^(rcos(theta)) r^2 dhdrd theta$
P.S. Mi viene 64/75
Perfetto anche a me viene cosi allora è errore di stampa grazie mille
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