Integrale triplo

[Malan1]

Buongiorno, devo calcolare l’integrale della funzione 1+z sul dominio x^2 + y^2 + z^2 < a^2 , z> B con a>b costanti positive. Ho pensato di usare le coordinate sferiche ma non sono convinto degli estremi, avrei il raggio della sfera da 0 ad a, la rotazione della sfera da 0 a 2pigreco e il terzo estremo secondo i miei ragionamenti viene limitato da b in qualche modo, ma sono bloccato. Ho immaginato che essendo la sfera “tagliata” da un piano orizzontale con altezza b si potesse anche ragionare solo su un pezzettino in due dimensioni ma avrei bisogno di un aiuto per chiarire . Grazie

[pilloeffe]

Ciao Malan,

Se ho ben capito devi calcolare l'integrale seguente:

$\int \int \int_D (1 + z) \text{d}x \text{d}y \text{d}z $

ove $D := {(x, y, z) \in \RR^3 : x^2 + y^2 + z^2 < a^2, z > b, a > b > 0} $

Prova a passare alle coordinate cilindriche invece di quelle sferiche...

[Malan1]

Quindi x= a cos(t) y =asen(t) z=z e gli estremi di a da 0 ad a che sarebbe il raggio, l’angolo che ho nominato “t” ha estremi 0 e 2pigreco e z da b a ... ? A infinito?
Non so se ho ragionato nella maniera corretta

[pilloeffe]

No, non ci sei...
Visto che hai capito che è una sfera di raggio $a $ sezionata da un piano orizzontale di equazione $z = b > 0 $ e dunque si tratta di una calotta sferica, prova anche a farti un disegno $2 D $.
Quelle che hai scritto poi non sono coordinate cilindriche, che sono invece le seguenti:

$ \{(x = \rho cos\theta),(y = \rho sin\theta),(z = z):} $

Facendo le dovute sostituzioni si ottiene $ \rho^2 + z^2 < a^2 \implies \rho^2 < a^2 - z^2 \implies 0 < \rho < sqrt{a^2 - z^2} $ e ricordando che $0 < b < z < a $ e che $\rho $ è lo jacobiano della trasformazione in coordinate cilindriche...