Integrale triplo

[bastian.0]

ciao!
non mi è chiaro come devo svolgere questo esercizio.
$ int int int_(D)^() 1/(1+z^2)dx dy dz $
dove D è il solido generato dalla rotazione del triangolo di vertici (1,0) (0,1) (1,2) del piano xz attorno all'asse z di un angolo pari a $2pi$
cioè, io senza la funzione farei il prodotto tra l'area del triangolo moltiplicato l'arco di circonferenza che il baricentro compie intorno a z (Guldino) ma mi disorienta la funzione.
Grazie.

[bastian.0]

E comunque no ancora non porta
$ pi int_(0)^(2) (2z-z^2)/(1+z^2)dx $
E ovviamente il risultato non porta ditemi voi

[bastian.0]

Comunque il risultato che mi viene fuori è
$arctan2 -2 +log5$ quindi sbaglio qualcosa non lo so

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Posta i passaggi che hai fatto.

[bastian.0]

Insiemi
$z(0,1) 1-z <= sqrt(x^2+y^2)<=1$
$z(1,2) z-1<=sqrt(x^2+y^2)<=1$
Ho diviso in due l'integrale sui due insiemi utilizzo le coordinate cilindriche, dopo trovo che
$ int_(0)^(1) int_(0)^(2pi)int_(1-z)^(1)rho(1/(1+z^2)) drho dTheta dz +int_(1)^(2)int_(0)^(2pi) int_(z-1)^(1) rho(1/(1+z^2)) drho dTheta dz $
Svolto l'integrale trovo questo
$ piint_(0)^(2) (2z-z^2)/(1+z^2)dz $
Poi scompongo con rapporto di polinomi e trovo questo risultato svolgendo 3 integrali finali $pi(log5+arctan2-2)$
Mentre dovrebbe esser3 $2pilog2$

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"3m0o":Io cercherei di descrivere l'insieme \( D \) in un altro modo, forse è tardi e sto dicendo castronerie, però se descrivi \( D= D_1 \cup D_2 \), dove \( D_1 \) è la parte di \( D \) con \( 0 \leq z \leq 1 \), mentre \( D_2 \) è la parte di \( D \) con \( 1 \leq z \leq 2 \).
Per descrivere \( D_1 \) sai che le sezioni per un piano parallelo al piano \( Oxy \) sono delle corone circolari! Quando \( z=0 \) allora i soli punti che stanno dentro \( D_1 \), e dunque dentro \( D \), sono i punti sulla circonferenza unitaria, mentre quando \( z =1 \) sai che tutti i punti del cerchio unitario (bordo e interno) sono dentro il \( D_1 \), dovresti ottenere \(D_1:= \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid 1-z \leq x^2+y^2 \leq 1; \ \ z \in [0,1] \} \).
Descrivi in modo analogo \( D_2 \).
Poi passa alle cilindriche \( x= \rho \cos \theta \), \( y= \rho \sin \theta \), e \( z = z \), con \( \rho \in [0,1] \), \( \theta \in [0,2 \pi ) \), e \( z \in [0,2] \). Ottieni per \( D_1:= \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid 1-z \leq \rho^2 \leq 1; \ \ z \in [0,1] \} \). Otterrai qualcosa di simile anche per \( D_2 \).
\[ \int_{0}^{2 \pi}
\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{1-z}}^{1} \frac{\rho}{1+z^2} d\rho dz d \theta+ \int \int \int_{D_2} \frac{\rho}{1+z^2} d\rho dz
d \theta \]
E dovrebbe venirti.

Si hai ragione, ho fatto una svista il raggio interno è elevato alla seconda quindi \( D_1:= \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid (1-z)^2 \leq \rho^2 \leq 1; \ \ z \in [0,1] \} \)
Detto ciò, sia con il modo che ho suggerito io, sia la procedura suggerita da Luca.Lussardi ti portano, se non sbaglio, a:
\[ \pi \int_{0}^{2} \frac{2z-z^2}{1+z^2}dz \]
e siccome delle conoscenze di Luca.Lussardi mi fido molto, siamo sicuri che il risultato sia \( 2 \pi \log(2) \) ?

[bastian.0]

Io ho seguito il ragionamento che ho fatto all'inizio e che poi mi hai detto anche tu con la radice però, a metà strada il risultato arriva a quello che diceva lui sono due metodi diversi solo che non mi torna il risultato il mio è $pi(log5+arctan2 +2)$ lui non mi ha più detto nulla non so se gli porta o no come me