Integrale triplo
ciao!
non mi è chiaro come devo svolgere questo esercizio.
$ int int int_(D)^() 1/(1+z^2)dx dy dz $
dove D è il solido generato dalla rotazione del triangolo di vertici (1,0) (0,1) (1,2) del piano xz attorno all'asse z di un angolo pari a $2pi$
cioè, io senza la funzione farei il prodotto tra l'area del triangolo moltiplicato l'arco di circonferenza che il baricentro compie intorno a z (Guldino) ma mi disorienta la funzione.
Grazie.
non mi è chiaro come devo svolgere questo esercizio.
$ int int int_(D)^() 1/(1+z^2)dx dy dz $
dove D è il solido generato dalla rotazione del triangolo di vertici (1,0) (0,1) (1,2) del piano xz attorno all'asse z di un angolo pari a $2pi$
cioè, io senza la funzione farei il prodotto tra l'area del triangolo moltiplicato l'arco di circonferenza che il baricentro compie intorno a z (Guldino) ma mi disorienta la funzione.
Grazie.
Risposte
Ma infatti mica devi trovare il volume di $D$. Io proverei a passare a coordinate cilindriche viste le simmetrie del dominio e visto l'aspetto della funzione integranda.
no, sto trovando difficoltà
ho integrato $rho$ tra 0 e 1 $theta$ tra 0 e $2pi$ e z tra $1-rho cos theta$ e $1+rho cos theta$ e l'integranda è $rho/(1+z^2) $ ma mi si complica abbastanza e non riesco ad andare avanti. Forse sbaglio
ho integrato $rho$ tra 0 e 1 $theta$ tra 0 e $2pi$ e z tra $1-rho cos theta$ e $1+rho cos theta$ e l'integranda è $rho/(1+z^2) $ ma mi si complica abbastanza e non riesco ad andare avanti. Forse sbaglio
non ne vengo fuori. Ho provato anche a vederlo facendo l'integrazione per strati dividendolo in due insiemi con $z(0,1) , 1-z<=x^2+y^2<=1$ $z(1,2) , 1<=x^2+y^2<=z-1$ ma non mi riporta il risultato che è $2pi log2$
vi prego datemi una mano grazie
vi prego datemi una mano grazie
Hai provato a vederlo come $\int_0^2|C_z|\frac{1}{1+z^2}dz$ essendo $|C_z|$ la misura della sezione $C_z$ di altezza $z$ del solido $D$? Trovare $|C_z|$ è facile, si tratte di corone circolari.
no non mi è chiara nemmeno la figura questa volta, cioè mi è chiaro che l'insieme riguarda la verticale x=1 e poi il triangolo complementare ai due speculari rispetto al punto (0,1) ma proprio non mi è chiaro.
grazie
grazie
Non riesci a vedere che se tagli $D$ con un piano perpendicolare all'asse $z$ hai delle corone circolari?
si si quello lo vedo, è solo che non riesco a scrivere l'insieme forse è per quello che sto trovando diicoltà a svolgere il tutto.
Ti basta la sua area in funzione di $z$, se hai capito la geometria è un calcoletto da terza media.
domanda.. C(z) ti porta 2(z-2) ? solo che dopo non mi riporta il risultato finale per che mi dà anche l'arcotangente oltre al logaritmo.
Un passo alla volta: ti viene che $|C_z|=2\pi z-\pi z^2$ se $z\in [0,1]$?
io sto usando questo insieme $(x,y,z) con z (0,2) , 1-z<=x^2+y^2<=z-1$ ho ricavato le due rette in pratica passando per i vertici del triangolo , sto sbagliando?
Ho seri dubbi su quella rappresentazione di $D$, nel piano $y=0$ mi sembra che la tua condizione individui delle parabole, mai citate nella definizione di $D$. Io mi limiterei a guardare la figura 2D nel piano $xz$ dettata dai punti assegnati, individua il triangolo, e così penso sia facile capire il segmento che, ruotato, origina le sezioni circolari.
cioè se lo vedo solo su xz non trovo
$ int_(0)^(2)int_(1-z)^(z-1) dx dy $ ?
$ int_(0)^(2)int_(1-z)^(z-1) dx dy $ ?
Devi ragionare sulla figura non sulla riduzione...
rettifico
ti vengono almeno questi insiemi?
$z (0,1) 1-z<=x<=1$
$z(1,2) z-1<=x<=1$
dopo cosa dovrei fare? forse lo guardavo frontalmente e non dall'alto
ti vengono almeno questi insiemi?
$z (0,1) 1-z<=x<=1$
$z(1,2) z-1<=x<=1$
dopo cosa dovrei fare? forse lo guardavo frontalmente e non dall'alto
ti porta C pari a $pi(4z-2z^2)$ il doppio di quello che mi avevi detto? tra 1e2 l'ho trovato uguale a quello che dicevi quindi è il doppio
dopo devo fare l'integrale tra 0 e 2 di $C/(1+z^2)$ ?
ma non ti porta anche un'arcotangente a colpo d'occhio cosi? non porta il risultato che ti dicevo.
dopo devo fare l'integrale tra 0 e 2 di $C/(1+z^2)$ ?
ma non ti porta anche un'arcotangente a colpo d'occhio cosi? non porta il risultato che ti dicevo.
mi viene $ int_(0)^(2)(2piz-piz^2)/(1+z^2)dz $
però in mezzo ci sarà un'arcotangente e il risultato invece è $2pilog2$
però in mezzo ci sarà un'arcotangente e il risultato invece è $2pilog2$
nn so più che fare se potete scrivetemi lo svolgimento e cerco di capirlo e studiarlo, sennò pazienza grazie lo stesso non ne vengo fuori
Io cercherei di descrivere l'insieme \( D \) in un altro modo, forse è tardi e sto dicendo castronerie, però se descrivi \( D= D_1 \cup D_2 \), dove \( D_1 \) è la parte di \( D \) con \( 0 \leq z \leq 1 \), mentre \( D_2 \) è la parte di \( D \) con \( 1 \leq z \leq 2 \).
Per descrivere \( D_1 \) sai che le sezioni per un piano parallelo al piano \( Oxy \) sono delle corone circolari! Quando \( z=0 \) allora i soli punti che stanno dentro \( D_1 \), e dunque dentro \( D \), sono i punti sulla circonferenza unitaria, mentre quando \( z =1 \) sai che tutti i punti del cerchio unitario (bordo e interno) sono dentro il \( D_1 \), dovresti ottenere \(D_1:= \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid 1-z \leq x^2+y^2 \leq 1; \ \ z \in [0,1] \} \).
Descrivi in modo analogo \( D_2 \).
Poi passa alle cilindriche \( x= \rho \cos \theta \), \( y= \rho \sin \theta \), e \( z = z \), con \( \rho \in [0,1] \), \( \theta \in [0,2 \pi ) \), e \( z \in [0,2] \). Ottieni per \( D_1:= \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid 1-z \leq \rho^2 \leq 1; \ \ z \in [0,1] \} \). Otterrai qualcosa di simile anche per \( D_2 \).
\[ \int_{0}^{2 \pi}
\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{1-z}}^{1} \frac{\rho}{1+z^2} d\rho dz d \theta+ \int \int \int_{D_2} \frac{\rho}{1+z^2} d\rho dz
d \theta \]
E dovrebbe venirti.
Per descrivere \( D_1 \) sai che le sezioni per un piano parallelo al piano \( Oxy \) sono delle corone circolari! Quando \( z=0 \) allora i soli punti che stanno dentro \( D_1 \), e dunque dentro \( D \), sono i punti sulla circonferenza unitaria, mentre quando \( z =1 \) sai che tutti i punti del cerchio unitario (bordo e interno) sono dentro il \( D_1 \), dovresti ottenere \(D_1:= \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid 1-z \leq x^2+y^2 \leq 1; \ \ z \in [0,1] \} \).
Descrivi in modo analogo \( D_2 \).
Poi passa alle cilindriche \( x= \rho \cos \theta \), \( y= \rho \sin \theta \), e \( z = z \), con \( \rho \in [0,1] \), \( \theta \in [0,2 \pi ) \), e \( z \in [0,2] \). Ottieni per \( D_1:= \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid 1-z \leq \rho^2 \leq 1; \ \ z \in [0,1] \} \). Otterrai qualcosa di simile anche per \( D_2 \).
\[ \int_{0}^{2 \pi}
\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{1-z}}^{1} \frac{\rho}{1+z^2} d\rho dz d \theta+ \int \int \int_{D_2} \frac{\rho}{1+z^2} d\rho dz
d \theta \]
E dovrebbe venirti.
Ti ringrazio tantissimo ed è il procedimento che stavo attuando all'inizio ma sbagliavo completamente perché consideravo un insieme tra 1-z e 1+z e ovviamente è errato, solo che non l'ho più preso in considerazione perché qualcuno mi diceva che per y=0 era una parabola non retta...e se lo mettessi sotto radice x^2+y^2 ? Cosi le curve di livello sono circonferenza e per y =0 è una retta
Grazie ancora
Grazie ancora
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