Integrale triplo

[Sergeant Pepper]

Salve a tutti, preparando l'esame di analisi mi sono imbattuto in questo esercizio senza però venirne a capo:

Calcolare $int_D y/(1+sqrt(z))dxdydz$ dove $D={(x,y,z)inRR^3 | x^2+y^2<=z<=1}$

Ora, seguendo quanto fatto a lezione, osservo che il dominio si presta all'integrazione per fili rispetto all'asse z, dunque:

$int_(D')(int_(x^2+y^2)^1y/(1+sqrt(z))dz)dxdy= int_(D')y(int_(x^2+y^2)^1(1/(1+sqrt(z)))dz)dxdy$

Però a questo punto mi blocco perchè non riesco a calcolare $int1/(1+sqrt(z))dz$: c'è qualche sostituzione o tecnica particolare che permetta di calcolare questo integrale? L'unica che mi venga in mente è la sostituzione $u=sqrtz$ ma non riesco a cavarne nulla.. oppure c'è qualche tecnica a monte che permette di calcolare l'integrale triplo tramite un'altra strada?

Grazie a chi mi darà una mano e buona domenica

[spugna2]

Quella sostituzione va bene: $int dz/(1+sqrt(z))=int (2u*du)/(1+u)=2u-2ln(1+u)+c=2sqrt(z)-2ln(1+sqrt(z))+c$

[Sergeant Pepper]

Grazie per l'aiuto!

Procedendo come hai suggerito ho trovato che l'integrale di partenza diventa:

$int_(D')(2y)(1-ln2-sqrt(x^2+y^2)-ln(1+sqrt(x^2+y^2)))dxdy$

Al che passo alle coordinate polari:
$x=rhocostheta$
$y=rhosintheta$

e quindi:

$intint2rho^2sintheta(1-ln2-rho-ln(1+rho))drhod\theta=$
$2int_0^1rho^2(1-ln2-rho-ln(1-rho))(int_0^(2pi)sinthetad\theta)drho$

e, dato che $int_0^(2pi)sinthetad\theta=0$, l'integrale richiesto fa $0$. E' corretto?

[spugna2]

Sì, anche perché in effetti stai integrando una funzione dispari su un dominio simmetrico...

[Sergeant Pepper]

Effettivamente, una volta trovato il risultato, avevo immaginato una cosa del genere.. solo che non mi viene ancora naturale fare questo controllo prima di partire
Grazie ancora per l'aiuto