Integrale triplo
Buongiorno. Mi si chiede di calcolare il volume del cilindro di equazione $x^2 +y^2 =1$ compreso nella regione del paraboloide di equazione $z=x^2+y^2-2$ e il piano $x+y+z=4$.
Ho fatto la figura e ho pensato di dividere la figura in due volumi che poi sommero insieme: la prima regione è compresa tra il piano xy e il piano che delimita il cilindro, e la seconda regione è lo spazio compreso tra il paraboloide e il piano xy.
Probabilmente ho sbagliato qualcosa perchè questo argomento mi risulta ostico.
quindi:
$ D_1={x^2 +y^2<= 1, 0<= z<= 4-x-y} $
e l'integrale:
$ int int_(x^2 +y^2<=1) (int_(0)^(4-x-y)dz) dx dy $
$ D_2={x^2 +y^2<= 1,x^2+y^2-2 <= z<= 0} $
e il suo integrale
$ int int_(x^2 +y^2<=1) (int_(x^2+y^2-2)^(0)dz) dx dy $
Mi potete dire se il ragionamento è giusto? e se poi è saggio una volta fatto l'integrale in dz usare un cambio di variabili?
Ho fatto la figura e ho pensato di dividere la figura in due volumi che poi sommero insieme: la prima regione è compresa tra il piano xy e il piano che delimita il cilindro, e la seconda regione è lo spazio compreso tra il paraboloide e il piano xy.
Probabilmente ho sbagliato qualcosa perchè questo argomento mi risulta ostico.
quindi:
$ D_1={x^2 +y^2<= 1, 0<= z<= 4-x-y} $
e l'integrale:
$ int int_(x^2 +y^2<=1) (int_(0)^(4-x-y)dz) dx dy $
$ D_2={x^2 +y^2<= 1,x^2+y^2-2 <= z<= 0} $
e il suo integrale
$ int int_(x^2 +y^2<=1) (int_(x^2+y^2-2)^(0)dz) dx dy $
Mi potete dire se il ragionamento è giusto? e se poi è saggio una volta fatto l'integrale in dz usare un cambio di variabili?
Risposte
Ciao! Ho dato uno sguardo veloce, ma il ragionamento mi sembra corretto. Ti sei perso un $4$ nel secondo dominio (che hai chiamato di nuovo $D_1$), oppure hai sbagliato a scrivere la consegna. Continua a calcolare e vedi cosa esce fuori, non avere timore di sbagliare 
"singularity":
Ciao! Ho dato uno sguardo veloce, ma il ragionamento mi sembra corretto. Ti sei perso un $4$ nel secondo dominio (che hai chiamato di nuovo $D_1$), oppure hai sbagliato a scrivere la consegna. Continua a calcolare e vedi cosa esce fuori, non avere timore di sbagliare
si avevo sbagliato la consegna dell'esercizio. Allora provo a farti vedere il primo integrale come l'ho fatto, anche se ho dei seri dubbi però almeno ci ho provato:
$ int int_(x^2 +y^2<=1) ( int_(0)^(4-x-y) dz)dxdy= int int_(x^2 +y^2<=1) (z)|_(0)^(4-x-y) dxdy= int int_(x^2 +y^2<=1) 4-x-y dxdy $
Qui ho fatto un cambio di variabile sto sostituendo $dxdy$ con $ rhodrhodvartheta $ (avendo trovato la relazione con la matrice jacobiana della trasformazione), ma non so se va bene..
$ int_(0)^(1) int_(0)^(2pi) (4-rhocostheta-rhosintheta)rhodrhodvartheta $
$ int_(0)^(1) rho drho (4theta-rhosintheta+rhocostheta)|_(0)^(2pi) $
$ int_(0)^(1) 8pi rho drho= 4pi $
e speriamo bene..
Mi sembra corretto, comunque puoi anche integrare direttamente su:
$D ={ x^2 + y^2 <_ 1 , x^2 + y^2 - 2 <= z <= 4-x-y}$
calcolando:
$int int int_(D) dx dy dz = int int_(x^2 + y^2 <= 1)( int_(x^2 + y^2 - 2) ^(4-x-y) dz) dxdy$
$D ={ x^2 + y^2 <_ 1 , x^2 + y^2 - 2 <= z <= 4-x-y}$
calcolando:
$int int int_(D) dx dy dz = int int_(x^2 + y^2 <= 1)( int_(x^2 + y^2 - 2) ^(4-x-y) dz) dxdy$
"singularity":
Mi sembra corretto, comunque puoi anche integrare direttamente su:
$D ={ x^2 + y^2 <_ 1 , x^2 + y^2 - 2 <= z <= 4-x-y}$
calcolando:
$int int int_(D) dx dy dz = int int_(x^2 + y^2 <= 1)( int_(x^2 + y^2 - 2) ^(4-x-y) dz) dxdy$
si in effetti hai ragione è che lì per lì mi sembrava più complesso. Grazie ancora
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