Integrale triplo
Buona sera a tutti, c'è qualcuno volenteroso che mi direbbe come si svolge questo integrale? Grazie mille 
$ int_(E)^() ln(x^2 +y^2 + z^2) dxdydz $ , $ E={x^2+y^2+z^2<=1, x^2+y^2<=z^2,z>=0} $ .
Possibile che faccia 0? Ho provato a risolverlo in coordinate sferiche e mi viene 0.
$ int_(E)^() ln(x^2 +y^2 + z^2) dxdydz $ , $ E={x^2+y^2+z^2<=1, x^2+y^2<=z^2,z>=0} $ .
Possibile che faccia 0? Ho provato a risolverlo in coordinate sferiche e mi viene 0.
Risposte
Mi sembra difficile: il dominio è nel semispazio positivo delle $z$ (c'è la condizione $z\ge 0$) e la funzione risulta negativa (il suo argomento è minore di 1). Visto che non amo molto le coordinate sferiche, uso quelle cilindriche:
$$x=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta,\qquad z=z$$
dove per definizone $\rho\ge 0$ e, per ovvie ragioni di simmetria, $\theta\in[0,2\pi]$. Usando le coordinate si ha il nuovo dominio
$$E'_{\theta}=\{\rho^2+z^2\le 1,\ \rho^2\le z^2,\ z\ge 0\}$$
e quindi scrivo l'integrale come
$$\int_0^{2\pi}\left(\iint_{E'_{\theta}}\ln(\rho^2+z^2)\ \rho\ d\rho\ dz\right)\ d\theta=2\pi\iint_{E'_{\theta}}\ln(\rho^2+z^2)\ \rho\ d\rho\ dz$$
osservando che il dominio $E'$ risulta indipendente da $\theta$. Passando allora, su esso, a coordinate polari (osserva che tale dominio va disegnato solo nel primo quadrante del piano $\rho O z$, poiché $\rho\ge 0,\ z\ge 0$) possiamo scrivere
$$\rho=u\cos v,\qquad z=u\sin v$$
con $u\ge 0$ e $v\in[0,\pi/2]$ (siamo nel primo quadrante). Inoltre il dominio diventa (osserva che $\rho^2\le z^2$ equivale, nel primo quadrante, a $\rho\le z$)
$$E''=\{u^2\le 1,\ \cos v\le\sin v,\ \sin v\ge 0\}$$
e quindi risulta
$$0\le u\le 1,\qquad v\in[\pi/4,\pi/2]$$
Abbiamo allora
$$2\pi\int_0^1\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln(u^2)\ u^2\cos v\ dv\ du=2\pi\left(\int_0^1 2u^2\ln(u)\ du\right)\left(\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos v\ dv\right)=\\ 4\pi\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left\{\left[\frac{u^3}{3}\ln(u)\right]_0^1-\frac{1}{3}\int_0^1 u^2\ du\right\}=4\pi\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left[-\frac{u^3}{9}\right]_0^1$$
e quindi l'integrale vale
$$-\frac{4\pi}{9}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
che è, come ci si doveva aspettare,negativo.
P.S.: andrebbe dimostrato preliminarmente che tale integrale esiste, dal momento che il dominio contiene l'origine degli assi cartesiani e, in tale punto, la funzione logaritmo non è definita. Tuttavia la cosa non dovrebbe risultare troppo difficile ed è contenuta nel passaggio che permette di eliminare il termine $[\frac{u^3}{3}\ln(u)]_0^1$ quando faccio l'integrazione per parti (in zero, la funzione tra parentesi ha, come limite, zero, in quanto la potenza "mangia" il logaritmo).
$$x=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta,\qquad z=z$$
dove per definizone $\rho\ge 0$ e, per ovvie ragioni di simmetria, $\theta\in[0,2\pi]$. Usando le coordinate si ha il nuovo dominio
$$E'_{\theta}=\{\rho^2+z^2\le 1,\ \rho^2\le z^2,\ z\ge 0\}$$
e quindi scrivo l'integrale come
$$\int_0^{2\pi}\left(\iint_{E'_{\theta}}\ln(\rho^2+z^2)\ \rho\ d\rho\ dz\right)\ d\theta=2\pi\iint_{E'_{\theta}}\ln(\rho^2+z^2)\ \rho\ d\rho\ dz$$
osservando che il dominio $E'$ risulta indipendente da $\theta$. Passando allora, su esso, a coordinate polari (osserva che tale dominio va disegnato solo nel primo quadrante del piano $\rho O z$, poiché $\rho\ge 0,\ z\ge 0$) possiamo scrivere
$$\rho=u\cos v,\qquad z=u\sin v$$
con $u\ge 0$ e $v\in[0,\pi/2]$ (siamo nel primo quadrante). Inoltre il dominio diventa (osserva che $\rho^2\le z^2$ equivale, nel primo quadrante, a $\rho\le z$)
$$E''=\{u^2\le 1,\ \cos v\le\sin v,\ \sin v\ge 0\}$$
e quindi risulta
$$0\le u\le 1,\qquad v\in[\pi/4,\pi/2]$$
Abbiamo allora
$$2\pi\int_0^1\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln(u^2)\ u^2\cos v\ dv\ du=2\pi\left(\int_0^1 2u^2\ln(u)\ du\right)\left(\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos v\ dv\right)=\\ 4\pi\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left\{\left[\frac{u^3}{3}\ln(u)\right]_0^1-\frac{1}{3}\int_0^1 u^2\ du\right\}=4\pi\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left[-\frac{u^3}{9}\right]_0^1$$
e quindi l'integrale vale
$$-\frac{4\pi}{9}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
che è, come ci si doveva aspettare,negativo.
P.S.: andrebbe dimostrato preliminarmente che tale integrale esiste, dal momento che il dominio contiene l'origine degli assi cartesiani e, in tale punto, la funzione logaritmo non è definita. Tuttavia la cosa non dovrebbe risultare troppo difficile ed è contenuta nel passaggio che permette di eliminare il termine $[\frac{u^3}{3}\ln(u)]_0^1$ quando faccio l'integrazione per parti (in zero, la funzione tra parentesi ha, come limite, zero, in quanto la potenza "mangia" il logaritmo).
Grazie mille per la spiegazione. Hai ragione, non può fare 0. Allora avrò sbagliato a portare E in coordinate sferiche.
Giusto per capire l'errore, E in coordinate sferiche diventa
$ r^2<=1,sin^2varphi <=cos^2varphi ,cosvarphi >=0 $ .
Io pensavo che a priori l'angolo phi fosse compreso tra $ -pi /2 $ e $ +pi /2 $ (spero di non aver sbagliato questo) e quindi dalla seconda disuguaglianza ho trovato che phi è compreso tra $ -pi /4 $ e $ +pi /4 $ .
Ma pensandoci adesso mi sa che phi in coordinate sferiche varia tra 0 e pigreco e quindi in E varierebbe tra 0 e $ +pi /4 $ .
Giusto per capire l'errore, E in coordinate sferiche diventa
$ r^2<=1,sin^2varphi <=cos^2varphi ,cosvarphi >=0 $ .
Io pensavo che a priori l'angolo phi fosse compreso tra $ -pi /2 $ e $ +pi /2 $ (spero di non aver sbagliato questo) e quindi dalla seconda disuguaglianza ho trovato che phi è compreso tra $ -pi /4 $ e $ +pi /4 $ .
Ma pensandoci adesso mi sa che phi in coordinate sferiche varia tra 0 e pigreco e quindi in E varierebbe tra 0 e $ +pi /4 $ .
Se per $\varphi$ indichi l'angolo con l'asse zeta, poiché $z\ge 0$ deve essere $\varphi\in[0,\pi/2]$.
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