Integrale triplo
Sto provando a risolvere il seguente integrale triplo trovato su internet:
$ int int int_(D)^() z^2 dx dy dz $
dove $ D = {(x,y,z) in R^3 : 1<= x^2 +y^2 + z^2 <= 4; z>=x^2+y^2; z>=0} $
Per risolverlo ho utilizzato le coordinate sferiche e quindi ho applicato il seguente cambio di coordinate:
$ { ( x = rho sin varphi cos vartheta ),( y = rho sin varphi sin vartheta ),( z = rho cos varphi ):} $
con i seguenti estremi: $ rho in [1,2] $ , $ varphi in [0,?] $ e $ vartheta in [0,2pi] $
Ora l'integrale è abbastanza semplice. L'unico mio dubbio è come far variare $ varphi $. Io avrei messo $ varphi in [0,pi/2] $ ma la risoluzione indica $ varphi in [0,pi/4] $ . Perchè?
$ int int int_(D)^() z^2 dx dy dz $
dove $ D = {(x,y,z) in R^3 : 1<= x^2 +y^2 + z^2 <= 4; z>=x^2+y^2; z>=0} $
Per risolverlo ho utilizzato le coordinate sferiche e quindi ho applicato il seguente cambio di coordinate:
$ { ( x = rho sin varphi cos vartheta ),( y = rho sin varphi sin vartheta ),( z = rho cos varphi ):} $
con i seguenti estremi: $ rho in [1,2] $ , $ varphi in [0,?] $ e $ vartheta in [0,2pi] $
Ora l'integrale è abbastanza semplice. L'unico mio dubbio è come far variare $ varphi $. Io avrei messo $ varphi in [0,pi/2] $ ma la risoluzione indica $ varphi in [0,pi/4] $ . Perchè?
Risposte
Mi sa che c'è un errore nel dominio, una $z$ che dovrebbe essere $z^2$.
Se è cosi' è un tronco di cono limitato da una sfera.
$pi/4$ è l'apertura del cono.
Se è cosi' è un tronco di cono limitato da una sfera.
$pi/4$ è l'apertura del cono.
Risolvi le disequazioni di D, utilizzando il cambio di variabile da te scritto e i risultati usciranno
Allora... Se il dominio lo correggo in questo modo:
$ D = {(x,y,z) in R^3 : 1<= x^2 +y^2 + z^2 <= 4; z^2>=x^2+y^2; z>=0} $
dalla seconda disequazione ottengo, dopo vari passaggi:
$ rho^2 cos^2 varphi >= rho^2 sin^2 varphi $
cioè:
$ cos varphi >= sin varphi $ che è vero per $ varphi in [0, pi/4] $
E fin qui ci siamo!
Dalla terza invece ottengo: $ rho cos varphi >= 0 $ cioè $ cos varphi >= 0 $ cioè $ varphi in [0,pi/2] $ Che si fa? E $ theta $ che fine ha fatto?
$ D = {(x,y,z) in R^3 : 1<= x^2 +y^2 + z^2 <= 4; z^2>=x^2+y^2; z>=0} $
dalla seconda disequazione ottengo, dopo vari passaggi:
$ rho^2 cos^2 varphi >= rho^2 sin^2 varphi $
cioè:
$ cos varphi >= sin varphi $ che è vero per $ varphi in [0, pi/4] $
E fin qui ci siamo!
Dalla terza invece ottengo: $ rho cos varphi >= 0 $ cioè $ cos varphi >= 0 $ cioè $ varphi in [0,pi/2] $ Che si fa? E $ theta $ che fine ha fatto?
$\theta$ lo ricavi dalla prima disequazione, la terza ti dice di prendere il semipiano superiore e la seconda ti dice che parte del semipiano devi considerare.
Ok! Comunque la prima disequazione dà $ rho in [1,2] $ , come lo ricavo $ vartheta $ ? E' implicito che vari tra $ 0 $ e $ 2pi $ perchè sto trattando una corona sferica la cui sezione orizzontale è una corona circolare?
"Aaron":
Sto provando a risolvere il seguente integrale triplo trovato su internet:
$ int int int_(D)^() z^2 dx dy dz $
dove $ D = {(x,y,z) in R^3 : 1<= x^2 +y^2 + z^2 <= 4; z>=x^2+y^2; z>=0} $
Per risolverlo ho utilizzato le coordinate sferiche e quindi ho applicato il seguente cambio di coordinate:
$ { ( x = rho sin varphi cos vartheta ),( y = rho sin varphi sin vartheta ),( z = rho cos varphi ):} $
non hai vincoli sull'angolo $\theta$ quindi $\theta \in [0,2\pi]$
Giusto!!! Ora mi è tutto chiaro! 
Grazie ragazzi!
Grazie ragazzi!
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