Integrale Triplo
devo calcolare questo integrale:
$ int int int_(D)^() 3x^2 dx dy dz $ dove $ D = {(x,y,z) in R^3 | x^2+z^2 <=1, 0<=y<=3+x-z}$
mi sapete dare una mano?
grazie a tutti per l'aiuto
$ int int int_(D)^() 3x^2 dx dy dz $ dove $ D = {(x,y,z) in R^3 | x^2+z^2 <=1, 0<=y<=3+x-z}$
mi sapete dare una mano?
grazie a tutti per l'aiuto
Risposte
Idee tue? C'è un regolamento che impone almeno qualche tentativo da parte dell'utente, prima che si discuta sul modo di affrontare l'esercizio.
sono passato alle coordinate cilindriche, ma non riesco a trovare gli estremi di integrazione.
Suppongo tu abbia usato queste coordinate
$$x=\rho\cos\theta,\ z=\rho\sin\theta,\ y=t$$
corretto? Con tale posizione le equazioni che determinano il dominio divengono
$$\rho^2\le 1,\qquad 0\le t\le 3+\rho(\cos\theta-\sin\theta)$$
Osserva che, nella definizione di partenza, ciò che abbiamo è l'intersezione tra un cilindro e una coppia di piani. A causa della simmetria radiale attorno all'asse y, possiamo concludere che, per ogni $\theta$ fissato, al fine di trovare le limitazioni, posto $m=m(\theta)=\cos\theta-\sin\theta$, si hanno le condizioni
$$0\le\rho\le 1,\qquad 0\le t\le 3+m\rho$$
Se provi a disegnare nel piano $\rho O t$ queste curve (sono quattro rette) ti accorgerai che, al variare di $m$, tale dominio è un trapezio rettangolo con la base minore sull'asse $t$ ed estremi i punti $O(0,0)$ e $C(0,3)$, la base maggiore sulla retta $\rho=1$ ed estremi i punti $A(1,0)$ e $B(1,3+m)$ (intersezione tra le rette $\rho=1$ e $t=3+m\rho$), il lato "retto" coincidente con il segmento $OA$ e quello obliquo con il segmento $BC$. Pertanto, dal momento che questa cosa è indipendente da $\theta$, si hanno le limitazioni
$$\theta\in[0,2\pi],\qquad 0\le \rho\le 1,\qquad 0\le t\le 1+m\rho$$
(ricorda che $m$ dipende da $\theta$).
Ora scrivi l'integrale e risolvilo (l'ordine di integrazione sarà $t\to\rho\to\theta$).
$$x=\rho\cos\theta,\ z=\rho\sin\theta,\ y=t$$
corretto? Con tale posizione le equazioni che determinano il dominio divengono
$$\rho^2\le 1,\qquad 0\le t\le 3+\rho(\cos\theta-\sin\theta)$$
Osserva che, nella definizione di partenza, ciò che abbiamo è l'intersezione tra un cilindro e una coppia di piani. A causa della simmetria radiale attorno all'asse y, possiamo concludere che, per ogni $\theta$ fissato, al fine di trovare le limitazioni, posto $m=m(\theta)=\cos\theta-\sin\theta$, si hanno le condizioni
$$0\le\rho\le 1,\qquad 0\le t\le 3+m\rho$$
Se provi a disegnare nel piano $\rho O t$ queste curve (sono quattro rette) ti accorgerai che, al variare di $m$, tale dominio è un trapezio rettangolo con la base minore sull'asse $t$ ed estremi i punti $O(0,0)$ e $C(0,3)$, la base maggiore sulla retta $\rho=1$ ed estremi i punti $A(1,0)$ e $B(1,3+m)$ (intersezione tra le rette $\rho=1$ e $t=3+m\rho$), il lato "retto" coincidente con il segmento $OA$ e quello obliquo con il segmento $BC$. Pertanto, dal momento che questa cosa è indipendente da $\theta$, si hanno le limitazioni
$$\theta\in[0,2\pi],\qquad 0\le \rho\le 1,\qquad 0\le t\le 1+m\rho$$
(ricorda che $m$ dipende da $\theta$).
Ora scrivi l'integrale e risolvilo (l'ordine di integrazione sarà $t\to\rho\to\theta$).
penso di aver capito dove sbagliavo, grazie...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo