Integrale Triplo
Ciao a tutti,
Il testo dell'esercizio è questo:
Ho provato a risolverlo così:
L'equazione è di un paraboloide ellittico con asse parallelo ad y, quindi ho utilizzato l'integrazione per "strati" facendo variare
$ 0<=y<=1 $ e parametrizzando x,z $ { ( x=1/2rhocosvartheta ),( z=1/3rho sinvartheta ):} $ con $ 0<=rho<=1 $ e $ 0<=vartheta<=pi/2 $ (perchè mi trovo nel primo ottante).
Quindi ho questo integrale
$ 1/72int_(0)^(1) dy int_(0)^(1) rho^5 drhoint_(0)^(pi/2)cosvarthetasin^3vartheta dvartheta $.
Dov'è che ho sbagliato??
Grazie
Il testo dell'esercizio è questo:
Ho provato a risolverlo così:
L'equazione è di un paraboloide ellittico con asse parallelo ad y, quindi ho utilizzato l'integrazione per "strati" facendo variare
$ 0<=y<=1 $ e parametrizzando x,z $ { ( x=1/2rhocosvartheta ),( z=1/3rho sinvartheta ):} $ con $ 0<=rho<=1 $ e $ 0<=vartheta<=pi/2 $ (perchè mi trovo nel primo ottante).
Quindi ho questo integrale
$ 1/72int_(0)^(1) dy int_(0)^(1) rho^5 drhoint_(0)^(pi/2)cosvarthetasin^3vartheta dvartheta $.
Dov'è che ho sbagliato??
Grazie
Risposte
Premetto che sono alle prime armi con questo tipo di integrali , quindi ben venga qualcuno che ne sa di più 
Comunque non ho ben capito perché metti $ 1/72 $ prima del tuo integrale ,
ho provato a svolgerlo , iniziando a proiettare sul piano $xz$ questo paraboloide ellittico per trovarmi il mio dominio ,
ho forti dubbi riguardo la tua parametrizzazione di $\rho $ , da quanto ne so io , e ripeto per adesso veramente poco , sembra che tu abbia parametrizzato un particolare paraboloide ellittico ( cioè con ellissi che sono in pratica circonferenze ) quindi praticamente, secondo me, ai sbagliato le sezioni, o meglio gli estremi di integrazione delle sezioni , mentre il " filo " cioè la $ y $ è giusta..
Comunque se mi posti il risultato dell 'integrale provo a svolgerlo.
Comunque non ho ben capito perché metti $ 1/72 $ prima del tuo integrale ,
ho provato a svolgerlo , iniziando a proiettare sul piano $xz$ questo paraboloide ellittico per trovarmi il mio dominio ,
ho forti dubbi riguardo la tua parametrizzazione di $\rho $ , da quanto ne so io , e ripeto per adesso veramente poco , sembra che tu abbia parametrizzato un particolare paraboloide ellittico ( cioè con ellissi che sono in pratica circonferenze ) quindi praticamente, secondo me, ai sbagliato le sezioni, o meglio gli estremi di integrazione delle sezioni , mentre il " filo " cioè la $ y $ è giusta..
Comunque se mi posti il risultato dell 'integrale provo a svolgerlo.
allora il risultato è $ 1/31104 $.
$ int_(0)^(1) dy int_(0)^(1) int_(0)^(pi/2)(1/2rhocosvartheta)(1/3rhosinvartheta)^3 (1/6rho)dvarthetadrho $.
dove $ 1/6rho $ è il jacobiano della parametrizzazione.
In effetti è sbagliato $1/72$, infatti è $ 1/2 * 1/27 * 1/6 = 1/324 $
Si pure secondo devo aver sbagliato nel far variare $ rho $ tra 0 e 1!
$ int_(0)^(1) dy int_(0)^(1) int_(0)^(pi/2)(1/2rhocosvartheta)(1/3rhosinvartheta)^3 (1/6rho)dvarthetadrho $.
dove $ 1/6rho $ è il jacobiano della parametrizzazione.
In effetti è sbagliato $1/72$, infatti è $ 1/2 * 1/27 * 1/6 = 1/324 $
Si pure secondo devo aver sbagliato nel far variare $ rho $ tra 0 e 1!
Si infatti è $1/324$ pensavo avessi diviso per qualche numero visto che consideravi un ottante .
Per ora non ho mai fatto cambiamenti di coordinate ellittiche , mi rimane proprio difficile pensare entro quale intervallo varia \( \rho \) , anche se mi sto convincendo che alla fine vari proprio tra 0 e 1 , però ho provato a fare il calcolo e mi viene $1/7776$ quindi bhooo
In teoria ho pensato di far variare \( \rho \) da 0 a $ 1/(4cos^2(\vartheta )+9sin^2(\vartheta ) )^(1/2) $ ..
Per ora non ho mai fatto cambiamenti di coordinate ellittiche , mi rimane proprio difficile pensare entro quale intervallo varia \( \rho \) , anche se mi sto convincendo che alla fine vari proprio tra 0 e 1 , però ho provato a fare il calcolo e mi viene $1/7776$ quindi bhooo
In teoria ho pensato di far variare \( \rho \) da 0 a $ 1/(4cos^2(\vartheta )+9sin^2(\vartheta ) )^(1/2) $ ..
Ho capito dov'è l'errore, $ rho $ deve variare cosi $ 0<= rho <= sqrt(y) $ !
Grazie comunque!
Grazie comunque!
Perché $y^(1/2)$ ?
Perchè usando le coordinate ellittiche ho: $ { ( x=1/2rhocosvartheta ),( z=1/3rho sinvartheta ):} $
poi sostituendole nella condizione $ 4x^2 + 9z^2 <= y $ $ rArr $ $ rho^2 <= y rArr 0 <=p<= sqrt(y) $
poi sostituendole nella condizione $ 4x^2 + 9z^2 <= y $ $ rArr $ $ rho^2 <= y rArr 0 <=p<= sqrt(y) $
Grazie 
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