Integrale triplo

[melli13]

Salve a tutti..!
Stavo provando a risolvere questo esercizio, ma non sono sicura di averlo fatto bene...voi potreste aiutarmi? Anche perchè non ho le soluzioni....e questi integrali tripli non mi stanno molto simpatici..
$\int int int (x+y^2+z^3) dxdydz$, dove il dominio d'integrazione è $A={(x,y,z) in RR^3: x^2+y^2+z^2<=2, x^2+y^2>=1}$

Geometricamente credo che sia difficile da risolvere, mentre facendo un po' di calcoli mi viene questo dominio:
$A'={(x,y,z) in RR^3: -1<=x<=1,-sqrt(2-x^2-z^2)<=y<=sqrt(2-x^2-z^2), -1<=z<=1}$

E' giusto? Potrei provare a risolverlo in questo modo per riduzione? Grazie mille

[Lory314]

Hint: prova un cambio di coordinate.

[melli13]

Ho provato con il cambio in coordinate polari..Quindi adesso l'insieme diventa :
$B={(rho, theta, phi) in RR^3: -sqrt(2) E' giusto così? posso procedere con i calcoli a calcolare l'integrale? Grazie mille...

[Quinzio]

No, non va bene.
devi capire intanto se l'integrale si risolve con un integrale unico o se bisogna spezzarlo .
Poi comincia a mettere giu' gli estremi (in x,y,z)

[Lory314]

"melli13":Ho provato con il cambio in coordinate polari..Quindi adesso l'insieme diventa :
$ B={(rho, theta, phi) in RR^3: -sqrt(2)
E' giusto così? posso procedere con i calcoli a calcolare l'integrale? Grazie mille...

No, è sbagliato. Un errore evidente è che $\rho$ non può essere negativo . Inoltre sono sbagliate anche le limitazioni su $\phi$.

"Quinzio":
Poi comincia a mettere giu' gli estremi (in x,y,z)

Intendi che non c'è alcun vantaggio in questo caso nel cambiare le coordinate? Per me con le cilindriche può funzionare.

[melli13]

Scusami che intendi per "mettere giù gli estremi in x,y,z? È quello che ho scritto nel primo post no? E come faccio a capire se l'integrale lo devo spezzare o no? Non ne sono capace..!! Magari potrei calcolarni l'integrale sulle sfere di raggio minore di due e poi toglierci l'integrale sulle circonferenze di raggio minore di 1??
Si giusto...allora $01$ quindi $sen^2(phi)>1/(rho)^2$ e quindi se è giusta la prima condizione questa dovrebbe essere $-pi/4 E come mai @Lory314 mi consigli le cilindriche? Da dove devo capire quali coordinate usare? Grazie mille e scusatemi se non riesco a capire...

[Lory314]

"melli13":
E come mai @Lory314 mi consigli le cilindriche? Da dove devo capire quali coordinate usare? Grazie mille e scusatemi se non riesco a capire...

Non c'è un modo giusto per usare un cambio di coordinate piuttosto che un altro. Ci sono cambi di coordinati utili (perchè semplificano i conti) altri meno utili. Se pensi a come è fatto il dominio, esso è una sfera "bucata" da un cilindro concentrico alla sfera stessa. Da qui l'idea di usare le coordinate cilindriche. Inoltre l'integranda non suggerisce l'uso di coodinate sferiche. Dalla forma del dominio puoi notare anche perchè, a mio avviso, è sbagliata la limitazione su $\phi$ che hai imposto precedentemente. Infatti, con il tuo cambio di variabili l'insieme che ne esce è un settore sferico.

[melli13]

Allora per calcolare l'integrale su quel dominio mi calcolo prima l'integrale sulla sfera (con coordinate sferiche) e poi ci tolgo quello sul cilindro (coordinate cilindriche) e le due cupolette...ma per le cupolette come dovrei fare?

[Lory314]

Non capisco perchè vuoi fare tutto questo giro. Il passaggio a coordinate cilindriche/sferiche può essere fatto anche su domini che non sono esattamente dei cilindri/sfere. E' spesso sufficiente che il tuo dominio abbia una simmetria cilindirca/sferica.
Quindi il mio consiglio è di provare a scrivere direttamente il tuo insieme in coordinate cilindriche.

Ti scrivo qui quello che ottengo io, così magari dopo che ci hai provato, puoi confrontare i risultati:

Il cambio di coordinate è
${ ( x = \rho\cos(\theta)),( y = \rho\sin(\theta) ),( z = t ):}$
con, in generale, $\rho\geq0$, $\theta\in[0,2\pi]$, $t\inRR$.

Da $x^2+y^2\geq1$, ottieni facilmente che $\rho\geq1$

Da $x^2+y^2+z^2\leq2$, ottieni che $\rho^2+t^2\leq2$, da cui $-\sqrt{2-\rho^2}\leqt\leq\sqrt{2-\rho^2}$. Imponendo le condizioni di esistenza sulla radice, hai che $-\sqrt{2}\leq\rho\leq\sqrt{2}$. Combindando questa condizioni con quella precedentemente trovata, si ha che: $1\leq\rho\leqsqrt{2}$.

Su $\theta$ non ci sono condizioni aggiuntive.

Quindi l'insieme $A' = { (\rho, \theta, t) : 1\leq\rho\leq\sqrt{2}, \theta \in [0,2\pi], -sqrt{2-\rho^2}\leqt\leq\sqrt{2-\rho^2}}$.

Gli integrali che devi poi risolvere non dovrebbero essere eccessivamente complicati. Ti suggerisco di ordinare gli integrali in questo modo:
\[
\int_1^{\sqrt{2}} \int_{-\sqrt{2-\rho^2}}^{\sqrt{2-\rho^2}}\int_0^{2\pi} f(\rho,\theta,t) d\rho d\theta dt
\]

[melli13]

Grazie mille

[melli13]

Scusami se ritorno sempre al solito problema, ma se invece cerco di risolvere l'integrale per strati?

Proietto A sull'asse z ed ottengo $int_(-1)^1 (int_(A_z) dxdy)dz$ dove $A_z={1<=x^2+y^2<=2-z^2}$
Per risolvere l'integrale doppio applico il cambio di cordinate polari ed ottengo $int_(-1)^1dz int_1^(sqrt(2-z^2)) drho int_0^(2pi) (rho^2+z^3)rho d\theta$

L'unico problema è che non mi esce lo stesso risultato di quello che mi viene facendo l'altro procdimento..non capisco se sono io che mi impiccio con i calcoli o è proprio sbagliato questo procedimento...Grazie ancora

[melli13]

viewtopic.php?f=36&t=111292&p=729552&hilit=integrale+triplo#p729552

Qui ho trovato lo stesso mio problema...ma risolvendolo così mi viene ancora un altro risultato...AIUTOOOOOOO...ora sono più confusa che mai...qual è il procedimento giusto?? Vi prego, aiutatemi a chiarire un po' le idee...Grazie davvero