Integrale trigonometrico

[Gendarmevariante1]

Ciao a tutti!

Risolvendo un esercizio sono arrivato ad avere questo integrale ($R$ è un parametro fissato):

$-{R^3}/{6sqrt(2)}int_(0)^(pi/2)(2-cos^2theta)^{3/2}d\theta$
L'ho trasformato in $-{R^3}/{6sqrt(2)}int_(0)^(pi/2)(1+sen^2theta)^{3/2}d\theta$
e poi ho provato a sostituire in questo modo:
$sentheta = Sht$

$theta = arcsen(Sht)$

$d\theta={dt}/{sqrt(1-Sh^2t)}$

$sentheta in [0,1] => t in [0, Sh^{-1}1]$

Innanzitutto: queste sostituzioni sono corrette?
Ha senso che ci sia un Sh al denominatore, visto che Sh varia fra 0 e 1... giusto?

Poi però mi ritrovo con questo integrale che non so ricondurre ad alcun metodo standard di risoluzione:
${R^3}/{6sqrt(2)}int_(0)^(Sh^{-1}1){-Ch^3t}/{sqrt(1-Sh^2t)}dt$

Non si può risolvere con la formulina $intg'g^{alpha} = {g^{alpha + 1}}/{alpha +1}$ perché c'è il cubo al numeratore.

Ho provato a scrivere il coseno iperbolico come $(1+Sht)^3$ e a svolgere il cubo, ma non ricavo nulla... avete consigli?

[Gendarmevariante1]

Anche se in terribile ritardo, scusa e grazie mille per la risposta esauriente