Integrale trigonometrico
Ciao a tutti, stavo provando a svolgere il seguente integrale:
$ int_(0)^(pi/2) dx/(a+sin^2x) $ dove $ a in RR$, $|a|>1$
il mio problema è subito all'inizio, dovrei ricondurlo ad un integrale della forma $ int_(0)^(2pi) g(cosx,sinx)dx $
per prima cosa osservo che $ g(cosx,sinx)= 1/(a+sin^2x) $ è una funzione pari quindi posso scrivere che
$ int_(0)^(pi/2) dx/(a+sin^2x) =1/2 int_(0)^(pi) dx/(a+sin^2x) $ giusto?
e poi come devo proseguire?
$ int_(0)^(pi/2) dx/(a+sin^2x) $ dove $ a in RR$, $|a|>1$
il mio problema è subito all'inizio, dovrei ricondurlo ad un integrale della forma $ int_(0)^(2pi) g(cosx,sinx)dx $
per prima cosa osservo che $ g(cosx,sinx)= 1/(a+sin^2x) $ è una funzione pari quindi posso scrivere che
$ int_(0)^(pi/2) dx/(a+sin^2x) =1/2 int_(0)^(pi) dx/(a+sin^2x) $ giusto?
e poi come devo proseguire?
Risposte
nessuno? 
$t= tg(x/2)$ (dunque $x= 2arctg(t)$)
Si ha $sin^2x= ((2t)/(1+t^2))^2$ e $dx = 2/(1+t^2) dt$
Gli estremi di integrazione diventano $0$ e $1$.
Quindi bisogna risolvere \[
\int_{0}^{1} \frac{1}{a+\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2} \cdot \frac{2}{1+t^2} \text{d}t
\]
edit: però non credo che si riesca a concludere molto...
Si ha $sin^2x= ((2t)/(1+t^2))^2$ e $dx = 2/(1+t^2) dt$
Gli estremi di integrazione diventano $0$ e $1$.
Quindi bisogna risolvere \[
\int_{0}^{1} \frac{1}{a+\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2} \cdot \frac{2}{1+t^2} \text{d}t
\]
edit: però non credo che si riesca a concludere molto...
grazie per la risposta ma non saprei lo stesso come andare avanti...io stavo cercando un modo per ricondurre l'integrale tra $0$ e $2pi$ in modo da poter integrare lungo una circonferenza semplice e quindi applicare il teorema dei residui.
Tra l'altro mi sono appena accorta che ho fatto un brutto errore nello scrivere il testo, l'integrale è tra $ 0 $ e $2pi$, non tra meno infinito e più infinito! ora correggo anche nel messaggio di prima.
Tra l'altro mi sono appena accorta che ho fatto un brutto errore nello scrivere il testo, l'integrale è tra $ 0 $ e $2pi$, non tra meno infinito e più infinito! ora correggo anche nel messaggio di prima.
\( t=\tan(x)\)
\( \displaystyle \sin^2(x)=\frac{\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)}\)
\( \displaystyle dx=\frac{1}{1+t^2}dt\)
\(\displaystyle \int\frac{dx}{a+\sin^{2}(x)}=\int\frac{1}{(a+1)t^{2}+1}dt\)
Mi pare che si possa calcolare.
\( \displaystyle \sin^2(x)=\frac{\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)}\)
\( \displaystyle dx=\frac{1}{1+t^2}dt\)
\(\displaystyle \int\frac{dx}{a+\sin^{2}(x)}=\int\frac{1}{(a+1)t^{2}+1}dt\)
Mi pare che si possa calcolare.
ciao, si, penso che l'integrale come l'hai scritto tu si possa calcolare, solo che stavo cercando di risolverlo col metodo dei residui perché è un esercizio per prepararmi per l'esame di analisi 3...per caso hai qualche idea su come svolgerlo usando questo metodo?
Prova a darti un suggerimento:
\( \displaystyle I=\int_0^{2\pi}\frac{dx}{a+\sin^2(x)}=\int_0^{2\pi}\frac{dx}{a+\frac{1-\cos(2x)}{2}}=2\int_0^{2\pi}\frac{dx}{2a+1-\cos(2x)}=\int_0^{4\pi}\frac{du}{2a+1-\cos(u)}\)
\( \displaystyle =2\int_0^{2\pi}\frac{du}{2a+1-\cos(u)}\)
\( \displaystyle I=2\oint_{C}\frac{dz}{iz\left[2a+1-\frac{z+z^{-1}}{2}\right]}=\frac{4}{i}\oint_C\frac{dz}{2(2a+1)z-z^2-1}\)
Dammi tue notizie.
\( \displaystyle I=\int_0^{2\pi}\frac{dx}{a+\sin^2(x)}=\int_0^{2\pi}\frac{dx}{a+\frac{1-\cos(2x)}{2}}=2\int_0^{2\pi}\frac{dx}{2a+1-\cos(2x)}=\int_0^{4\pi}\frac{du}{2a+1-\cos(u)}\)
\( \displaystyle =2\int_0^{2\pi}\frac{du}{2a+1-\cos(u)}\)
\( \displaystyle I=2\oint_{C}\frac{dz}{iz\left[2a+1-\frac{z+z^{-1}}{2}\right]}=\frac{4}{i}\oint_C\frac{dz}{2(2a+1)z-z^2-1}\)
Dammi tue notizie.
Eh già, non ci avevo proprio pensato, ora mi viene 
Grazie mille!
Grazie mille!
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