Integrale trigonometrico

[Cantor99]

Ho difficoltà a calcolare l'integrale
$int_{0}^{\pi/2} \frac{sin(x)+cos(x)}{1+sin(x)cos(x)}dx$

Secondo voi c'è un modo più semplice che procedere con la sostituzione $t=tan(\frac{x}{2})$?

[anto_zoolander]

Non so quanto possa essere 'più facile', però guardando il rewind del gf mi sono sentito ispirato

considera che $2+2sin(x)cos(x)=1+sin^2(x)+2sin(x)cos(x)+cos^2(x)$

ovvero $1+(sin(x)+cos(x))^2=1+(sqrt2 sin(x+pi/4))^2$

ricordando che $sin(x)+cos(x)=sqrt(2)sin(x+pi/4)$


[size=90]

$int(sin(x)+cos(x))/(1+sin(x)cos(x))dx=int(2sqrt(2)sin(x+pi/4))/(1+(sqrt2sin(x+pi/4))^2)dx=$


$=int(2sqrt(2)sin(x+pi/4))/(3-2cos^2(x+pi/4))dx=(2sqrt2)/3int(sin(x+pi/4))/(1-(sqrt(2/3)cos(x+pi/4))^2)dx=$


$=-2/sqrt(3)int(-sqrt(2/3)sin(x+pi/4))/(1-(sqrt(2/3)cos(x+pi/4))^2)dx$

[/size]


posto $f(x)=sqrt(2/3)cos(x+pi/4)$ e $f'(x)=-sqrt(2/3)sin(x+pi/4)$

l'integrale diventa chiaramente $-2/sqrt(3)int(f'(x))/(1-f(x)^2)dx$

[size=85]$int1/(1-t^2)dt=int1/((1-t)(1+t))dx=1/2int1/(1-t)dt+1/2int1/(1+t)dt=1/2log|(1+t)/(1-t)|$

[/size]

puoi pensarla come una sostituzione, anche se fondamentalmente ho solo considerato che

$int(f'circg)*g'dx=intf'dxcircg$

[size=90]$int(sin(x)+cos(x))/(1+sin(x)cos(x))dx=-1/sqrt(3)log|(sqrt(3)+sqrt(2)cos(x+pi/4))/(sqrt(3)-sqrt(2)cos(x+pi/4))|+c$

[/size]

Fine.

Nell'ultimo passaggio ho sottinteso di fare il minimo comune multiplo alleggerire la scrittura da $sqrt(2/3)$ all’interno del logaritmo. Se non ti dovesse esser chiaro qualcosa, chiedi pure.

[Cantor99]

Sublime! Avevo giocato ponendo $(sin(x)-cos(x))^2+3sin(x)cos(x)=1+sin(x)cos(x)$ ma non ne uscivo fuori... Ti ringrazio tantissimo

[anto_zoolander]

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