Integrale tramite residui (coseno al denominatore)
Forse mi sto perdendo in un bicchier d'acqua ma questo coseno al denominatore mi manda in blocco, come procedo?
\[ \int_0^{2\pi} \frac{cos3t}{5-4cost}\ \text{d} t \]
P.S. siate buoni, domani ho l'esame
\[ \int_0^{2\pi} \frac{cos3t}{5-4cost}\ \text{d} t \]
P.S. siate buoni, domani ho l'esame
Risposte
Dalla identita'...
$\cos x = \frac{e^{i x}+ e^{- i x}}{2}$ (1)
... deriva che...
$\cos x = \frac{z+ z^{-1}}{2}$
$ \cos 3 x = \frac{z^{3} + z^{-3}}{2}$
... quendo $z=e^{i x}$...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$\cos x = \frac{e^{i x}+ e^{- i x}}{2}$ (1)
... deriva che...
$\cos x = \frac{z+ z^{-1}}{2}$
$ \cos 3 x = \frac{z^{3} + z^{-3}}{2}$
... quendo $z=e^{i x}$...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Fin qui c'ero arrivato ma non hai risolto il mio problema con il denominatore :/
Qualche passaggio in più? Mi piacciono gli indovinelli, ma non a 18 ore dall'esame
Qualche passaggio in più? Mi piacciono gli indovinelli, ma non a 18 ore dall'esame
Ponendo $z = e^{i x} \implies d x = \frac{d z}{i z}$ l'integrale diviene...
$\int_{0}^{2 \pi} \frac{\cos 3 x}{5 - 4 \cos x}\ dx = \frac{1}{i}\ \int_{\gamma} \frac{\frac{z+z^{-1}}{2}}{z\ (5 - 4\ \frac{z^{3}+ z^{-3}}{2})}\ d z $ (1)
... dove $\gamma$ e' il cerchio unitario. L'integrale (1) si risolve con il metodo dei residui considerando le singolarita' della funzione integranda entro il cerchio unitario...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$\int_{0}^{2 \pi} \frac{\cos 3 x}{5 - 4 \cos x}\ dx = \frac{1}{i}\ \int_{\gamma} \frac{\frac{z+z^{-1}}{2}}{z\ (5 - 4\ \frac{z^{3}+ z^{-3}}{2})}\ d z $ (1)
... dove $\gamma$ e' il cerchio unitario. L'integrale (1) si risolve con il metodo dei residui considerando le singolarita' della funzione integranda entro il cerchio unitario...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
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