Integrale tramite residui, apparentemente senza singolarità

[Seigi]

Ho il seguente integrale da risolvere tramite teorema dei residui:
\( \int_{+\partial D} \) $(zsen(1/z)cos(1/(z-1)))/(z-3)$ \( \text{d} z \)


dove D è il rettangolo di vertici: [tex]-1-i,-1+i,2-i,2+i[/tex]

ho sviluppato seno e coseno in forma esponenziale e moltiplicato, però l'unica singolarità sembra essere ancora [tex]3[\tex] che non fa parte del dominio... forse sbaglio qualcosa nel ragionamento, in ogni caso gradirei una risoluzione completa per capire l'intero svolgimento. Grazie mille.

[gugo82]

E le due singolarità essenziali dove le mettiamo?

[Seigi]

Dove le mettiamo?! Dimmelo tu, io non le avevo identificate ne saprei come calcolarne il residuo...
In generale so la definizione di singolarità essenziale, ma in termini pratici come si identificano in un integrale come questo?!

[Seneca1]

Per calcolare il residuo in una singolarità essenziale in generale devi guardare allo sviluppo in serie di Laurent della funzione.

[gugo82]

Le singolarità essenziali sono in \(0\) ed in \(1\): questo è evidente, perché le funzioni \(\sin \frac{1}{\zeta}\) e \(\cos \frac{1}{\zeta}\) presentano entrambe singolarità essenziali in \(0\).

Per calcolare i residui relativi, occorre o fare un conto esplicito con la definizione o usare lo sviluppo in serie di Laurent... In entrambi i casi si tratta di contazzi.

[Seigi]

Quindi ho singolarità essenziali ogni volta che trovo funzioni che non sono definite in un punto?!

[gugo82]

"Seigi":Quindi ho singolarità essenziali ogni volta che trovo funzioni che non sono definite in un punto?!

Ma anche no.
Ad esempio, la funzione \(\frac{\sin z}{z}\) non è definita in \(0\), ma vi ha una singolarità eliminabile.

Hai una singolarità isolata essenziale in un punto \(z_0\) quando è soddisfatta la definizione di singolarità isolata essenziale, definizione che ti esorto a rivedere.

[Seigi]

Sì ma, per evitare di verificare ogni volta che il limite esista o meno, non c'è una regola pratica per identificarle?
Del tipo "Punti di discontinuità nella funzione al numeratore" o una cosa del genere?!
Poi un'altra cosa, nell'esempio che ho postato, sarebbe convenuto fare i calcoli sulla serie di Laurent o era possibile semplificare le cose calcolando il residuo all'infinito?

[gugo82]

"Seigi":Sì ma, per evitare di verificare ogni volta che il limite esista o meno, non c'è una regola pratica per identificarle?
Del tipo "Punti di discontinuità nella funzione al numeratore" o una cosa del genere?

In generale no.

"Seigi":Poi un'altra cosa, nell'esempio che ho postato, sarebbe convenuto fare i calcoli sulla serie di Laurent o era possibile semplificare le cose calcolando il residuo all'infinito?

Tentare di determinare esplicitamente la serie di Laurent in \(0\) ed in \(1\) equivale al suicidio (ho provato...); quindi qualsiasi tattica che semplifichi il problema è buona.

Volendo, puoi applicare il secondo teorema dei residui e calcolare:
\[
\int_{+\partial D} f(z)\ \text{d} z = -2\pi\ \imath\ \sum_{z_k \text{ singolarità } \in \mathbb{C}\setminus \overline{D}} \operatorname{Res} (f;z_k)\; ;
\]
le singolarità dell'integrando esterne a \(D\) sono evidentissimamente \(3\) e \(\infty\), quindi non ti resta da far altro che classificarle e vedere che fine fai.