Integrale tramite residui

[Seigi]

Salve a tutti, oggi ho sostenuto l'esame di metodi e sto aspettando i risultati, nel frattempo volevi proporvi questo integrale per vedere se ho ragionato nel modo giusto:

\[ \int_{-\infty}^{+\infty}\ \frac{1}{x(x^5-j)}\text{d} x \]

In particolare mi interessa sapere le varie singolarità, quali di queste considerare e perchè..
Grazie mille in anticipo a tutti

[gugo82]

"Seigi":Salve a tutti, oggi ho sostenuto l'esame di metodi e sto aspettando i risultati, nel frattempo volevi proporvi questo integrale per vedere se ho ragionato nel modo giusto:

\[ \int_{-\infty}^{+\infty}\ \frac{1}{x(x^5-j)}\text{d} x \]

In particolare mi interessa sapere le varie singolarità, quali di queste considerare e perchè..
Grazie mille in anticipo a tutti

L'integrale è molto semplice, seppure un po' lungo.

Spoilerizzo, perché qualcuno potrebbe volersi esercitare con questo esercizio e non voglio togliergli lo sfizio.

L'integrale è da intendersi nel senso del valore principale, perché l'integrando, seppur sommabile all'infinito, non è sommbile in zero.
L'integrando è algebrico e coincide con la restrizione all'asse reale della funzione ausiliaria:
\[
f(z):= \frac{1}{z(z^5 -\jmath)}
\]
cosicché si ha:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}\ \frac{1}{x(x^5-j)}\text{d} x = \int_{+\{ y=0\}} \frac{1}{z(z^5-j)}\text{d} z
\]
e perciò bisogna trovare un modo per calcolare l'ultimo integrale.

La funzione ausiliaria ha sei poli del primo ordine, uno in \(0\) e gli altri nelle cinque radici quinte di \(\jmath\) (nessuna delle quali è reale, per ovvi motivi); inoltre, essa tende a zero all'infinito; pertanto l'unica singolarità sull'asse reale è in \(0\) e bisogna aggirarla.
Conseguentemente, per \(0

[*:jy95zpks] la semicirconferenza \(\Gamma (0;R)\) nel semipiano \(\{ y>0\}\), orientata in senso antiorario;

[/*:m:jy95zpks]
[*:jy95zpks] il segmento d'estremi \(-R\) e \(-r\), percorso dal primo al secondo estremo;

[/*:m:jy95zpks]
[*:jy95zpks] la semicirconferenza \(\gamma (0;r)\) nel semipiano \(\{ y>0\}\), orientata in senso orario;

[/*:m:jy95zpks]
[*:jy95zpks] il segmento d'estremi \(r\) ed \(R\), orientato dal primo al secondo estremo;[/*:m:jy95zpks][/list:u:jy95zpks]

e si dica \(\Omega (r;R)\) la regione da esso delimitata.
Per il primo teorema dei residui si ha:
\[
\int_{+\partial \Omega(r;R)} f(z)\ \text{d} z = 2\pi\ \jmath\! \! \! \! \sum_{\text{singolarità } z_k \in \Omega (r;R)} \! \! \! \! \operatorname{Res} (f(z);z_k)
\]
per ogni \(r,R\); d'altra parte:
\[
\int_{+\partial \Omega(r;R)} f(z)\ \text{d} z = \left( \int_{+\Gamma (0;R)} + \int_{-R}^{-r} -\int_{+\gamma (0;r)} + \int_r^R \right) f(z)\ \text{d} z
\]
quindi:
\[
\left( \int_{+\Gamma (0;R)} + \int_{-R}^{-r} -\int_{+\gamma (0;r)} + \int_r^R \right)\ f(z)\ \text{d} z = 2\pi\ \jmath\ \sum_{\text{singolarità } z_k \in \Omega (r;R)} \operatorname{Res} (f(z);z_k)\; .
\]
Passando al limite per \(r\to 0^+\) ed \(R\to +\infty\), raggruppando i termini che forniscono l'integrale di \(f(z)\) all'asse reale e tenendo presente che, al limite, \(\Omega (r;R)\) invade il semipiano \(\{ y>0\}\), si trova:
\[
\begin{split}
\int_{+\{y=0\}} f(z)\ \text{d} z &= 2\pi\ \jmath\! \! \! \! \sum_{\text{singolarità } z_k \text{ con } \operatorname{Im} z_k>0}\! \! \! \! \operatorname{Res} (f(z);z_k)\\
&\phantom{=} + \lim_{r\to 0^+} \int_{+\gamma (0;r)} f(z)\ \text{d} z - \lim_{R\to +\infty} \int_{+\Gamma (0;R)} f(z)\ \text{d} z\; ,
\end{split}
\]
quindi per terminare occorre calcolare il secondo membro della precedente.

Per i lemmi di Jordan si ha:
\[
\begin{split}
\lim_{r\to 0^+} \int_{+\gamma (0;r)} f(z)\ \text{d} z &= \pi\ \jmath\ \lim_{|z|\to 0} z f(z) = \pi\ \jmath\ \frac{1}{-\jmath} = -\pi\\
\lim_{R\to +\infty} \int_{+\Gamma (0;R)} f(z)\ \text{d} z &= \pi\ \jmath\ \lim_{|z|\to +\infty} z f(z) = 0\; ;
\end{split}
\]
d'altra parte, le cinque radici quinte di \(\jmath\) sono:
\[
z_k = \exp \left( \jmath\ \frac{\frac{\pi}{2} + 2k \pi}{5}\right) \qquad k=0,1,2,3,4 \quad \Rightarrow \begin{cases} z_0 = \exp \left( \frac{\pi}{10}\ \jmath \right) \\ z_1= \exp \left( \frac{\pi}{2}\ \jmath \right) \\ z_2 = \exp \left( \frac{9\pi}{10}\ \jmath \right) \\ z_3= \exp \left( \frac{13\pi}{10}\ \jmath \right) \\ z_1= \exp \left( \frac{17\pi}{10}\ \jmath \right) \end{cases}
\]
e solo le prime tre hanno parte immaginaria positiva (avendo argomento \(\in ]0, \pi [\)), dunque basta calcolare i residui di \(f(z)\) in \(z_0\), \(z_1=\jmath\) e \(z_2\): si ha:
\[
\begin{split}
\operatorname{Res} (f(z);z_0) &= \lim_{z\to z_0} (z-z_0) f(z) \\
&= \lim_{z\to z_0} \frac{1}{\frac{z(z^5-\jmath)}{z-z_0}} \\
&= \frac{1}{\left( z^6-\jmath z\right)^\prime \Big|_{z=z_0}} \\
&= \frac{1}{6z_0^5-\jmath}\\
&= \frac{1}{6\jmath -\jmath}\\
&= \frac{1}{5\jmath}\\
\operatorname{Res} (f(z);z_1) &= \lim_{z\to z_0} (z-z_1) f(z) \\
&= \lim_{z\to z_0} \frac{1}{\frac{z(z^5-\jmath)}{z-z_1}} \\
&= \frac{1}{\left( z^6-\jmath z\right)^\prime \Big|_{z=z_1}} \\
&= \frac{1}{6z_1^5-\jmath}\\
&= \frac{1}{6\jmath -\jmath}\\
&= \frac{1}{5\jmath}\\
\operatorname{Res} (f(z);z_2) &= \lim_{z\to z_2} (z-z_2) f(z) \\
&= \lim_{z\to z_2} \frac{1}{\frac{z(z^5-\jmath)}{z-z_2}} \\
&= \frac{1}{\left( z^6-\jmath z\right)^\prime \Big|_{z=z_2}} \\
&= \frac{1}{6z_2^5-\jmath}\\
&= \frac{1}{6\jmath -\jmath}\\
&= \frac{1}{5\jmath}
\end{split}
\]
cosicché:
\[
\sum_{\text{singolarità } z_k \text{ con } \operatorname{Im} z_k>0}\!\! \operatorname{Res} (f(z);z_k) = \frac{3}{5\jmath}\; .
\]
Ne consegue:
\[
\begin{split}
\operatorname{VP}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x(x^5-\jmath)}\ \text{d} x &= \int_{+\{ y=0\}} f(z)\ \text{d} z \\
&= 2\pi\ \cancel{\jmath}\ \frac{3}{5\cancel{\jmath}} - \pi \\
&= \frac{\pi}{5}\; .
\end{split}
\]

[Seigi]

Grazie mille, solo non capisco perchè sostituendo le singolarità nei calcoli dei residui, da una forma esponenziale si arriva a [tex]6j[/tex]

[gugo82]

Perché gli \(z_k\) sono le radici quinte di \(\jmath\), ergo \(z_k^5=\jmath\) e conseguentemente \(6z_k^5-\jmath =6\jmath -\jmath =5\jmath\) per ogni \(k=0,1,2,3,4\).