Integrale traiettoria dei pianeti
Buonasera a tutti =) sono alle prese con un integrale, ma non so proprio da dove partire. L'integrale è il seguente
$$\theta-\theta_0= \pm \int_{r_0}^{r} \frac{l \, d \rho}{\mu \rho^2 \sqrt{\frac{2}{\mu} (E-\frac{l^2}{2 \mu \rho^2}) - \frac{k}{\rho}}}$$
Come suggerimento, so che l'integrazione da un arcos, e invertendo poi le equazioni trovate, attraverso diversi calcoli, si arriva a
$$\frac{1}{r}=b(1+ \epsilon cos(\theta-\theta_0))$$
con
$$b=\frac{\mu k}{l^2} \quad \epsilon=\sqrt{1+\frac{E}{E_1}} \quad E_1=\frac{\mu k^2}{2 l^2}$$
sono proprio i "diversi calcoli" che non riesco a tirar fuori
$$\theta-\theta_0= \pm \int_{r_0}^{r} \frac{l \, d \rho}{\mu \rho^2 \sqrt{\frac{2}{\mu} (E-\frac{l^2}{2 \mu \rho^2}) - \frac{k}{\rho}}}$$
Come suggerimento, so che l'integrazione da un arcos, e invertendo poi le equazioni trovate, attraverso diversi calcoli, si arriva a
$$\frac{1}{r}=b(1+ \epsilon cos(\theta-\theta_0))$$
con
$$b=\frac{\mu k}{l^2} \quad \epsilon=\sqrt{1+\frac{E}{E_1}} \quad E_1=\frac{\mu k^2}{2 l^2}$$
sono proprio i "diversi calcoli" che non riesco a tirar fuori
Risposte
Prima di tutto fai il denominatore comune nella radice e riscrivila un po' meglio.
$$\theta-\theta_0= \pm \int_{r_0}^{r} \frac{l \, d \rho}{ \rho \sqrt{2 \mu E \rho^2 - \mu^2 k \rho - l^2 }}$$
Ora: puoi cercare di scrivere il polinomio sotto radice in questa forma
$$A(\rho+a)^2\pm B$$
Scegliendo opportunamente i valori di $A,\ B, a$ e dopodiché procedere con l'integrazione (usando le sostituzioni tipiche degli integrali in cui si presentano funzioni della forma $\sqrt{t^2\pm \alpha^2}$).
$$A(\rho+a)^2\pm B$$
Scegliendo opportunamente i valori di $A,\ B, a$ e dopodiché procedere con l'integrazione (usando le sostituzioni tipiche degli integrali in cui si presentano funzioni della forma $\sqrt{t^2\pm \alpha^2}$).
$$\theta-\theta_0= \pm \int_{r_0}^{r} \frac{l \, d \rho}{ \rho \sqrt{2 \mu E \rho^2 - \mu^2 k \rho - l^2 }}$$
$$\theta-\theta_0= \pm \int_{r_0}^{r} \frac{l \, d \rho}{ \rho l \sqrt{ \frac{2 \mu E}{l^2} (\rho^2 - \frac{\mu k \rho}{2 E}) - 1 }}$$
$$\theta-\theta_0= \pm \int_{r_0}^{r} \frac{l \, d \rho}{ \rho l \sqrt{ \frac{2 \mu E}{l^2} (\rho^2 - \frac{\mu k \rho}{2 E}-(\frac{\mu k }{2 E})^2+(\frac{\mu k }{2 E})^2) - 1 }}$$
nulla ancora niente
$$\theta-\theta_0= \pm \int_{r_0}^{r} \frac{l \, d \rho}{ \rho l \sqrt{ \frac{2 \mu E}{l^2} (\rho^2 - \frac{\mu k \rho}{2 E}) - 1 }}$$
$$\theta-\theta_0= \pm \int_{r_0}^{r} \frac{l \, d \rho}{ \rho l \sqrt{ \frac{2 \mu E}{l^2} (\rho^2 - \frac{\mu k \rho}{2 E}-(\frac{\mu k }{2 E})^2+(\frac{\mu k }{2 E})^2) - 1 }}$$
nulla ancora niente
L'argomento della radice lo puoi scrivere così:
$$2\mu E\rho^2-\mu^2 k\rho-l^2=2\mu E\left(\rho^2-\frac{\mu k}{2E}\rho-\frac{l^2}{2\mu E}\right)=2\mu E\left(\rho^2-\frac{\mu k}{2E}\rho+\frac{\mu^2 k}{16E^2}-\frac{\mu^2 k}{16E^2}-\frac{l^2}{2\mu E}\right)=$$
$$=2\mu E\left[\left(\rho-\frac{\mu k}{4E}\right)^2-\frac{\mu^3 k+8l^2 E}{16\mu E^2}\right]$$
Indicato $\alpha^2=\frac{\mu^3 k+8l^2 E}{16\mu E^2}$ possiamo porre $\rho-\frac{\mu k}{4E}=\alpha t$ cosicché l'integrale diviene
$$\theta-\theta_0=\pm\int_{t_0}^{t_1}\frac{l\ \alpha\ dt}{\alpha(t+A)\sqrt{t^2-1}}=\pm\int_{t_0}^{t_1}\frac{l\ dt}{(t+A)\sqrt{t^2-1}}$$
dove ho posto
$$A=\frac{\mu k}{4E},\qquad t_0=r_0-A,\quad t_1=r-A$$
Ora, l'integrale che ho scritto, lo sai calcolare?
$$2\mu E\rho^2-\mu^2 k\rho-l^2=2\mu E\left(\rho^2-\frac{\mu k}{2E}\rho-\frac{l^2}{2\mu E}\right)=2\mu E\left(\rho^2-\frac{\mu k}{2E}\rho+\frac{\mu^2 k}{16E^2}-\frac{\mu^2 k}{16E^2}-\frac{l^2}{2\mu E}\right)=$$
$$=2\mu E\left[\left(\rho-\frac{\mu k}{4E}\right)^2-\frac{\mu^3 k+8l^2 E}{16\mu E^2}\right]$$
Indicato $\alpha^2=\frac{\mu^3 k+8l^2 E}{16\mu E^2}$ possiamo porre $\rho-\frac{\mu k}{4E}=\alpha t$ cosicché l'integrale diviene
$$\theta-\theta_0=\pm\int_{t_0}^{t_1}\frac{l\ \alpha\ dt}{\alpha(t+A)\sqrt{t^2-1}}=\pm\int_{t_0}^{t_1}\frac{l\ dt}{(t+A)\sqrt{t^2-1}}$$
dove ho posto
$$A=\frac{\mu k}{4E},\qquad t_0=r_0-A,\quad t_1=r-A$$
Ora, l'integrale che ho scritto, lo sai calcolare?
Faccio la sostituzione $$u=\sqrt{x^2-1}$$ in modo da ottenere $$du=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx$$
?
?
E cosa ne ottieni? comunque ti resta un radicale. Prova con questa sostituzione $\sqrt{t^2-1}=t+z$.
$$\theta-\theta_0=\pm\int_{t_0}^{t_1}\frac{l\ dt}{(t+A)\sqrt{t^2-1}}$$
ottengo
$$\theta-\theta_0=\pm\int_{z_0}^{z_1}- \frac{\ dz}{z(t+A)}$$
ottengo
$$\theta-\theta_0=\pm\int_{z_0}^{z_1}- \frac{\ dz}{z(t+A)}$$
Scusami, ma ti pare possibile che ottieni una equazione in cui compaiono sia $t$ che $z$? Ma una domanda, tu conosci i metodi di integrazione?
Lo so 
era per dire che facendo questa sostituzione non riesco ad ottenere una forma integrabile cosa dovrei ottenere facendo questa sostituzione $ \sqrt{t^2-1}=t+z $?
Comunque grazie infinite per la pazienza!
era per dire che facendo questa sostituzione non riesco ad ottenere una forma integrabile cosa dovrei ottenere facendo questa sostituzione $ \sqrt{t^2-1}=t+z $?Comunque grazie infinite per la pazienza!
Allora vediamo un po': siamo giunti al seguente integrale
$$\theta-\theta_0=\pm\frac{l}{\sqrt{2\mu E}}\int_{t_0}^{t_1}\frac{dt}{(t+A)\sqrt{t^2-1}}$$
dove abbiamo posto
$$\rho-A=\alpha t,\qquad A=\frac{\mu k}{2E},\quad \alpha\sqrt{\frac{\mu^3 k+8l^2 E}{16\mu E^2}},\qquad t_0=\frac{r_0-A}{\alpha},\quad t_1=\frac{r-A}{\alpha}$$
Poniamo adesso, come dicevo
$$\sqrt{t^2-1}=t+z$$
da cui, elevando a quadrato si ricava
$$t^2-1=t^2+2tz+z^2\ \Rightarrow\ t=-\frac{1+z^2}{2z}$$
Quindi
$$\sqrt{1-t^2}=z-\frac{1+z^2}{2z}=\frac{z^2-1}{2z},\qquad dt=\frac{1-z^2}{2z^2}\ dz,\qquad t+A=\frac{2Az-1-z^2}{2z}$$
e ponendo
$$z_0=\sqrt{t_0^2-1}-t_0,\quad z_1=\sqrt{t_1^2-1}-t_1$$
si ottiene
$$\theta-\theta_0=\pm\frac{l}{\sqrt{2\mu E}}\int_{z_0}^{z_1}\frac{\frac{1-z^2}{2z^2}\ dz}{\frac{2Az-1-z^2}{2z}\cdot\frac{z^2-1}{2z}}=\pm\frac{2l}{\sqrt{2\mu E}}\int_{z_0}^{z_1}\frac{dz}{z^2-2Az+1}$$
Osserviamo adesso che possiamo scrivere
$$z^2-2Az+1=z^2-2Az+A^2-A^2+1=(z-A)^2+(1-A^2)$$
Ora, non vorrei dire una cavolata, ma mi pare di ricordare che ${\mu k}/{4E}=A<1$, per come sono definite $\mu,\ k$ e pertanto si ha che $1-A^2>0$. Posto allora
$$\beta=\sqrt{1-A^2},\qquad z-A=\beta y,\qquad y_0=\frac{z_0-A}{\beta},\quad y_1=\frac{z_1-A}{\beta}$$
otteniamo
$$\theta-\theta_0=\pm\frac{2l}{\sqrt{2\mu E}}\int_{y_0}^{y_1}\frac{\beta\ dy}{\beta^2(y^2+1)}=\pm\frac{2l}{\beta\sqrt{2\mu E}}\int_{y_0}^{y_1}\frac{dy}{y^2+1}=\pm\frac{2l}{\beta\sqrt{2\mu E}}\left[\arctan y\right]_{y_0}^{y_1}$$
da cui
$$\theta-\theta_0=\pm\frac{2l}{\beta\sqrt{2\mu E}}\left(\arctan y_1-\arctan y_0\right)$$
Ora, una nota formula afferma che
$$\arctan y_1-\arctan y_0=\arctan\left(\frac{y_1-y_0}{1+y_0 y_1}\right)$$
e pertanto
$$\arctan\left(\frac{y_1-y_0}{1+y_0 y_1}\right)=\pm\frac{\beta\sqrt{2\mu E}}{2l}\cdot(\theta-\theta_0)$$
e infine
$$\frac{y_1-y_0}{1+y_0 y_1}=\tan\left[\pm\frac{\beta\sqrt{2\mu E}}{2l}\cdot(\theta-\theta_0)\right]$$
Ora, in teoria con dei semplici calcoli algebrici, dovresti poter portare tutta sta cosa nella forma voluta... però c'è qualcosa che non mi torna. E credo che dipenda dall'integrale di partenza. Siamo sicuri che sia quello?
$$\theta-\theta_0=\pm\frac{l}{\sqrt{2\mu E}}\int_{t_0}^{t_1}\frac{dt}{(t+A)\sqrt{t^2-1}}$$
dove abbiamo posto
$$\rho-A=\alpha t,\qquad A=\frac{\mu k}{2E},\quad \alpha\sqrt{\frac{\mu^3 k+8l^2 E}{16\mu E^2}},\qquad t_0=\frac{r_0-A}{\alpha},\quad t_1=\frac{r-A}{\alpha}$$
Poniamo adesso, come dicevo
$$\sqrt{t^2-1}=t+z$$
da cui, elevando a quadrato si ricava
$$t^2-1=t^2+2tz+z^2\ \Rightarrow\ t=-\frac{1+z^2}{2z}$$
Quindi
$$\sqrt{1-t^2}=z-\frac{1+z^2}{2z}=\frac{z^2-1}{2z},\qquad dt=\frac{1-z^2}{2z^2}\ dz,\qquad t+A=\frac{2Az-1-z^2}{2z}$$
e ponendo
$$z_0=\sqrt{t_0^2-1}-t_0,\quad z_1=\sqrt{t_1^2-1}-t_1$$
si ottiene
$$\theta-\theta_0=\pm\frac{l}{\sqrt{2\mu E}}\int_{z_0}^{z_1}\frac{\frac{1-z^2}{2z^2}\ dz}{\frac{2Az-1-z^2}{2z}\cdot\frac{z^2-1}{2z}}=\pm\frac{2l}{\sqrt{2\mu E}}\int_{z_0}^{z_1}\frac{dz}{z^2-2Az+1}$$
Osserviamo adesso che possiamo scrivere
$$z^2-2Az+1=z^2-2Az+A^2-A^2+1=(z-A)^2+(1-A^2)$$
Ora, non vorrei dire una cavolata, ma mi pare di ricordare che ${\mu k}/{4E}=A<1$, per come sono definite $\mu,\ k$ e pertanto si ha che $1-A^2>0$. Posto allora
$$\beta=\sqrt{1-A^2},\qquad z-A=\beta y,\qquad y_0=\frac{z_0-A}{\beta},\quad y_1=\frac{z_1-A}{\beta}$$
otteniamo
$$\theta-\theta_0=\pm\frac{2l}{\sqrt{2\mu E}}\int_{y_0}^{y_1}\frac{\beta\ dy}{\beta^2(y^2+1)}=\pm\frac{2l}{\beta\sqrt{2\mu E}}\int_{y_0}^{y_1}\frac{dy}{y^2+1}=\pm\frac{2l}{\beta\sqrt{2\mu E}}\left[\arctan y\right]_{y_0}^{y_1}$$
da cui
$$\theta-\theta_0=\pm\frac{2l}{\beta\sqrt{2\mu E}}\left(\arctan y_1-\arctan y_0\right)$$
Ora, una nota formula afferma che
$$\arctan y_1-\arctan y_0=\arctan\left(\frac{y_1-y_0}{1+y_0 y_1}\right)$$
e pertanto
$$\arctan\left(\frac{y_1-y_0}{1+y_0 y_1}\right)=\pm\frac{\beta\sqrt{2\mu E}}{2l}\cdot(\theta-\theta_0)$$
e infine
$$\frac{y_1-y_0}{1+y_0 y_1}=\tan\left[\pm\frac{\beta\sqrt{2\mu E}}{2l}\cdot(\theta-\theta_0)\right]$$
Ora, in teoria con dei semplici calcoli algebrici, dovresti poter portare tutta sta cosa nella forma voluta... però c'è qualcosa che non mi torna. E credo che dipenda dall'integrale di partenza. Siamo sicuri che sia quello?
Sono un imbranato! 
Mi dispiace, ho notato solo ora di aver sbagliato a trascrivere la parentesi al denominatore
$$\theta-\theta_0= \pm \int_{r_0}^{r} \frac{l \, d \rho}{\mu \rho^2 \sqrt{\frac{2}{\mu} (E-\frac{l^2}{2 \mu \rho^2} - \frac{k}{\rho}})}$$
Mi dispiace, ho notato solo ora di aver sbagliato a trascrivere la parentesi al denominatore$$\theta-\theta_0= \pm \int_{r_0}^{r} \frac{l \, d \rho}{\mu \rho^2 \sqrt{\frac{2}{\mu} (E-\frac{l^2}{2 \mu \rho^2} - \frac{k}{\rho}})}$$
Bé, riprova a ragionarci su in modo simile a come ho fatto io e vedi che succede.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo