Integrale tg
Salve;
Desideravo se possibile, una guida per eseguire questo esercizio.
$ int tg^3 (x)dx$ qual'è la via più semplice... senza ricorrere ad enormi calcoli...
per sostituzione non so come procedere...
per parti ho pensato $ 1*tg^3x$ ma viene una cosa abnorme
grazie dei chiarimenti
cordiali saluti.
Desideravo se possibile, una guida per eseguire questo esercizio.
$ int tg^3 (x)dx$ qual'è la via più semplice... senza ricorrere ad enormi calcoli...
per sostituzione non so come procedere...
per parti ho pensato $ 1*tg^3x$ ma viene una cosa abnorme
grazie dei chiarimenti
cordiali saluti.
Risposte
porre $ senx = t -> cosx dx = dt$ e sostituire come la vedi?
"Zkeggia":
porre $ senx = t -> cosx dx = dt$ e sostituire come la vedi?
$ int t^3/( cos^3(x)) dt $ ?
Provo solo a buttarla lì: sostituire $x=\arctan(t)$?
Dovrebbe venire $dx=\frac{dt}{1+t^2}$ e poi $tan^3(x)=tan(x)*tan(x)*tan(x)=t^3$ però non ho fatto i conti fino in fondo, quindi non so se porta ad una soluzione facile
Dovrebbe venire $dx=\frac{dt}{1+t^2}$ e poi $tan^3(x)=tan(x)*tan(x)*tan(x)=t^3$ però non ho fatto i conti fino in fondo, quindi non so se porta ad una soluzione facile
"mat100":
[quote="Zkeggia"]porre $ senx = t -> cosx dx = dt$ e sostituire come la vedi?
$ int t^3/( cos^3(x)) dt $ ?[/quote]
Così non va bene, hai due variabili anziché una..
Propongo per parti con [tex]\tan x\cdot\tan^2x[/tex]
ricordo che $cosx = sqrt(1-sin^2x) = sqrt (1 - t^2)$
"Zkeggia":
ricordo che $cosx = sqrt(1-sin^2x) = sqrt (1 - t^2)$
$int t^3/((sqrt(1-t^2))^3) dt$
improbabile ?
ti dimentichi una cosa.
$int sen^3x *cosx/cos^4 dx = int t^3/(1-t^2)^2dt$
Direi che quest'ultimo si fa per parti.
$int sen^3x *cosx/cos^4 dx = int t^3/(1-t^2)^2dt$
Direi che quest'ultimo si fa per parti.
"Zkeggia":
ti dimentichi una cosa.
$int sen^3x *cosx/cos^4 dx = int t^3/(1-t^2)^2dt$
Direi che quest'ultimo si fa per parti.
Gira e rigira dobbiamo per forza di cose integrare per parti :s ?
pensavo si potesse fare solo tramite sostituzione.....
Allora la migliore idea è quella di Raptorista, semplicemente quando arrivi a $int t^3/(1+t^2)dt$ dividi numeratore per denominatore... dovrebbero rimanerti due integrali abbastanza immediati!
"Zkeggia":
Allora la migliore idea è quella di Raptorista, semplicemente quando arrivi a $int t^3/(1+t^2)dt$ dividi numeratore per denominatore... dovrebbero rimanerti due integrali abbastanza immediati!
dividere per cosa .... ?
[tex]t^3=t\cdot(t^2+1)-t[/tex]
Fatti i conti per controllo!
P.S.: [tex]t[/tex] è il quoziente e [tex]-t[/tex] è il resto della divisione tra [tex]t^3[/tex] e [tex]t^2+1[/tex].
Fatti i conti per controllo!
P.S.: [tex]t[/tex] è il quoziente e [tex]-t[/tex] è il resto della divisione tra [tex]t^3[/tex] e [tex]t^2+1[/tex].
"j18eos":
[tex]t^3=t\cdot(t^2+1)-t[/tex]
Fatti i conti per controllo!
P.S.: [tex]t[/tex] è il quoziente e [tex]-t[/tex] è il resto della divisione tra [tex]t^3[/tex] e [tex]t^2+1[/tex].
$int t^3/(t^2+1)= int t dt + int -(t)/(t^2+1)dt$
così potrebbe esser giusto...?
cmq... una domanda, ma come mai $cos^3(x)$ diventa $1+t^2$ ??
thankx
Sì, sul cos non ti posso rispondere adesso! Ho fretta!
"mat100":
[quote="j18eos"][tex]t^3=t\cdot(t^2+1)-t[/tex]
Fatti i conti per controllo!
P.S.: [tex]t[/tex] è il quoziente e [tex]-t[/tex] è il resto della divisione tra [tex]t^3[/tex] e [tex]t^2+1[/tex].
$int t^3/(t^2+1)= int t dt + int -(t)/(t^2+1)dt$
così potrebbe esser giusto...?
cmq... una domanda, ma come mai $cos^3(x)$ diventa $1+t^2$ ??
thankx[/quote]
non è questione che
$cos^3(x)=1+t^2$
non è vera questa uguaglianza perchè a te veniva così ponendo $t=sinx$
mentre poi hai posto(molto più comodamente,stavo per dirtelo anche io ma mi hanno preceduto)
$t=tanx$
hai quindi cambiato procedimento,e fare questa uguaglianza fra due diversi procedimenti non ha alcun senso!
"zipangulu":
[quote="mat100"][quote="j18eos"][tex]t^3=t\cdot(t^2+1)-t[/tex]
Fatti i conti per controllo!
P.S.: [tex]t[/tex] è il quoziente e [tex]-t[/tex] è il resto della divisione tra [tex]t^3[/tex] e [tex]t^2+1[/tex].
$int t^3/(t^2+1)= int t dt + int -(t)/(t^2+1)dt$
così potrebbe esser giusto...?
cmq... una domanda, ma come mai $cos^3(x)$ diventa $1+t^2$ ??
thankx[/quote]
non è questione che
$cos^3(x)=1+t^2$
non è vera questa uguaglianza perchè a te veniva così ponendo $t=sinx$
mentre poi hai posto(molto più comodamente,stavo per dirtelo anche io ma mi hanno preceduto)
$t=tanx$
hai quindi cambiato procedimento,e fare questa uguaglianza fra due diversi procedimenti non ha alcun senso![/quote]
mi sono abbastanza confuso_
procediamo con una sola linea di principio.
cioè dire $ tg^3x= (sen^3x)/(cos^3x)$ ok
ora noi abbiamo detto che dobbiamo procedere con il metodo di sostituzione;
abbiamo due funzioni diverse al numeratore e al denominatore..... come hanno suggerito prima potrei mettere $ senx=t$ ma questa sostituzione non so se è lecita dato che come ho detto prima ,resta al denominatore il coseno ;
prima ancora raptorista , ha indicato di sostituire $x= arctan$ ma sinceramente non ho capito il sostituire la variabile con una funzione ...
attendo un illuminazione per integrare questa tangente al cubo
ma io mi chiedo perchè complicarsi la vita?
poniamo invece:
$t=tan(x)$
da cui
$x=atan(t)$
$dx=1/(1+t^2)$ $dt$
quindi riscriviamo il nostro integrale che inizialmente era:
$int tan^3(x) dx$
come:
$int t^3/(1+t^2) dt$
facciamo ora la divisione tra polinomi,inquanto il grado del numeratore è maggiore al grado del numeratore:
per cui posso dividere l'integrale per le sue proprietà in:
$int t$ $dt$ $-int t/(1+t^2)$ $dt$
quindi:
$t^2/2 -1/2int (2t)/(1+t^2)$ $dt$
quindi l'integrale esce:
$t^2/2 -1/2ln(1+t^2)$
che per le proprietà dei logaritmi si può anche scrivere come:
$t^2/2-ln(sqrt(1+t^2))$
$(tan^2(x))/2-ln(sqrt(1+tan^2(x)))$
e poi facendo le opportune semplificazioni e giocando con le proprietà dei logaritmi arrivi a trovare che esso è uguale a:
$(tan^2(x))/2+ln(cos(x))$
Ps. ponendo $sin(x)=t$ apparte che sarebbe molto + scomodo,poi devi trasformare anche $cosx$ in funzione di $t$,mica puoi trasformarne solo una parte e l'altra la lasci come è...sapendo ad esempio che $cosx=sqrt(1-sin^2x)$ e quindi ti comporti di conseguenza...quindi $cosx=sqrt(1-t^2)$ ecc ecc
spero di essere stato chiaro...ciao
poniamo invece:
$t=tan(x)$
da cui
$x=atan(t)$
$dx=1/(1+t^2)$ $dt$
quindi riscriviamo il nostro integrale che inizialmente era:
$int tan^3(x) dx$
come:
$int t^3/(1+t^2) dt$
facciamo ora la divisione tra polinomi,inquanto il grado del numeratore è maggiore al grado del numeratore:
per cui posso dividere l'integrale per le sue proprietà in:
$int t$ $dt$ $-int t/(1+t^2)$ $dt$
quindi:
$t^2/2 -1/2int (2t)/(1+t^2)$ $dt$
quindi l'integrale esce:
$t^2/2 -1/2ln(1+t^2)$
che per le proprietà dei logaritmi si può anche scrivere come:
$t^2/2-ln(sqrt(1+t^2))$
$(tan^2(x))/2-ln(sqrt(1+tan^2(x)))$
e poi facendo le opportune semplificazioni e giocando con le proprietà dei logaritmi arrivi a trovare che esso è uguale a:
$(tan^2(x))/2+ln(cos(x))$
Ps. ponendo $sin(x)=t$ apparte che sarebbe molto + scomodo,poi devi trasformare anche $cosx$ in funzione di $t$,mica puoi trasformarne solo una parte e l'altra la lasci come è...sapendo ad esempio che $cosx=sqrt(1-sin^2x)$ e quindi ti comporti di conseguenza...quindi $cosx=sqrt(1-t^2)$ ecc ecc
spero di essere stato chiaro...ciao
"zipangulu":
ma io mi chiedo perchè complicarsi la vita?
poniamo invece:
$t=tan(x)$
da cui
$x=atan(t)$
$dx=1/(1+t^2)$ $dt$
quindi riscriviamo il nostro integrale che inizialmente era:
$int tan^3(x) dx$
come:
$int t^3/(1+t^2) dt$
facciamo ora la divisione tra polinomi,inquanto il grado del numeratore è maggiore al grado del numeratore:
per cui posso dividere l'integrale per le sue proprietà in:
$int t$ $dt$ $-int t/(1+t^2)$ $dt$
quindi:
$t^2/2 -1/2int (2t)/(1+t^2)$ $dt$
quindi l'integrale esce:
$t^2/2 -1/2ln(1+t^2)$
che per le proprietà dei logaritmi si può anche scrivere come:
$t^2/2-ln(sqrt(1+t^2))$
$tan^2(x)/2-ln(sqrt(1+tan^2(x)))$
e poi facendo le opportune semplificazioni e giocando con le proprietà dei logaritmi arrivi a trovare che esso è uguale a:
$(tan^2(x))/2+ln(cos(x))$
Ps. ponendo $sin(x)=t$ apparte che sarebbe molto + scomodo,poi devi trasformare anche $cosx$ in funzione di $t$,mica puoi trasformarne solo una parte e l'altra la lasci come è...sapendo ad esempio che $cosx=sqrt(1-sin^2x)$ e quindi ti comporti di conseguenza...quindi $cosx=sqrt(1-t^2)$ ecc ecc
spero di essere stato chiaro...ciao
perfetto
credo che al di là delle note teoriche...
per far questi esercizi comunque devi conoscere la "sostituzione giusta" almeno per chi studia analisi da poco
magari per chi è da anni sa e manipola questi integrali in vario modo
cmq chiarissimo
una domanda banale...
qualora in altri tipi di integrali... mi compare fra le mani la tangente... è sempre utile sostituire la variabile con $ arctan$ e come mai ?
grazie ancora
mmm...no in matematica non c'è mai un unico procedimento da seguire...dipende tutto dall'esercizio che si ha di fronte
io non sono un esperto,sono un semplice studente universitario (sto studiando ora queste cose in analisi 2) ma posso dirti solo che secondo me la miglior cosa è sempre provare con il procedimento che appare più semplice (ex: ti trovi tangente elevato a qualcosa?sostuisci tan(x)=t o qualcosa del genere),se nello svolgimento vedrai che le cose si complicano molto,bè evidentemente ci sarà un altro procedimento più semplice
morale della favola:la matematica si impara sul campo,non c'è niente di programmato...esercitandosi "ci si fanno le ossa"
ciao!
io non sono un esperto,sono un semplice studente universitario (sto studiando ora queste cose in analisi 2) ma posso dirti solo che secondo me la miglior cosa è sempre provare con il procedimento che appare più semplice (ex: ti trovi tangente elevato a qualcosa?sostuisci tan(x)=t o qualcosa del genere),se nello svolgimento vedrai che le cose si complicano molto,bè evidentemente ci sarà un altro procedimento più semplice
morale della favola:la matematica si impara sul campo,non c'è niente di programmato...esercitandosi "ci si fanno le ossa"
ciao!
"mat100":
credo che al di là delle note teoriche...
No, no, NO!!
Non esiste questa cosa: prima la teoria, sempre; poi la pratica, che però viene sempre dopo TUTTA la teoria.
"mat100":
per far questi esercizi comunque devi conoscere la "sostituzione giusta" almeno per chi studia analisi da poco
magari per chi è da anni sa e manipola questi integrali in vario modo
Io ho fatto oggi la maturità, quindi ti dimostro che questo non è vero: l'unica cosa che conta è aver capito il meccanismo, altrimenti uno può fare anche centomila volte $\int e^x$ e non saper integrare $\sqrt{a-x^2}$
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