Integrale tan^3 x dx (correzione)
Buon pomeriggio a tutti, ho svolto il seguente integrale $int tg^3 x dx$ e vorrei sapere se i passaggi e la sostituzione sono corretti.
Svolgimento:
$int tg^3 x dx = int tg^2 x * tg x dx = int -1+sec^2 *tg x dx $
Sostituzione:
$t= sec x $
$dx = dt/(sec) = dt/t$
$int (-1+t^2)/t dt = int -1/t + t^2/t dt = int -1/t + t dt = - ln|t|+t^2/2 = - ln |sec| + sec^2 x/2 + c$
Grazie in anticipo
Svolgimento:
$int tg^3 x dx = int tg^2 x * tg x dx = int -1+sec^2 *tg x dx $
Sostituzione:
$t= sec x $
$dx = dt/(sec) = dt/t$
$int (-1+t^2)/t dt = int -1/t + t^2/t dt = int -1/t + t dt = - ln|t|+t^2/2 = - ln |sec| + sec^2 x/2 + c$
Grazie in anticipo
Risposte
Un integrale in cui compaia una funzione razionale di $cos^2 x$, $sin^2 x$, $sin x cos x$ e $tan x$, si razionalizza con la sostituzione $t = tan x$.
Ciao Marco Beta2,
Ti segnalo che integrali con diverse potenze della tangente sono già stati risolti ad esempio qui:
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=177032
Ti segnalo che integrali con diverse potenze della tangente sono già stati risolti ad esempio qui:
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=177032
"arnett":
Ciao, intanto la secante ha sempre un argomento che...
Ciao arnett e grazie per la risposta, si io integro ogni volta il risultato però un risultato corretto non equivale ad un procedimento corretto
per questo motivo vi chiedo un parere in merito Ad ogni modo ho sbagliato a scrivere la mia sostituzione che in realtà è questa:
$t = sec x$
$dt = tan x sec x dx$
$dt/sec x = tan x sec x/sec x dx$
$dt/t = tan x dx$ così posso sostituire in blocco questo pezzo perchè presente nell'integrale nella stessa forma; lo svolgimento dell'integrale è quello nella richiesta.
"gugo82":
Un integrale in cui compaia una funzione razionale di $ cos^2 x $, $ sin^2 x $, $ sin x cos x $ e $ tan x $, si razionalizza con la sostituzione $ t = tan x $.
Ciao gugo 82, grazie per la risposta, mi potresti spiegare bene il fatto della razionalizzazione con questo tipo di integrali? ne ho trovati vari e mi potrebbe servire come metodo risolutivo.
"pilloeffe":
Ciao Marco Beta2,
Ti segnalo che integrali con diverse potenze della tangente sono già stati risolti ad esempio qui:
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=177032
grazie pilloeffe per la tua risposta e grazie per il link, così posso farmi una panoramica sulle varie soluzioni degli utenti.
"pilloeffe":
Ciao Marco Beta2,
Ti segnalo che integrali con diverse potenze della tangente sono già stati risolti ad esempio qui:
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=177032
Carini!
Quel thread mi era sfuggito. Grazie per averlo segnalato pilloeffe.
"gugo82":
[quote="pilloeffe"]Ciao Marco Beta2,
Ti segnalo che integrali con diverse potenze della tangente sono già stati risolti ad esempio qui:
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=177032
Carini!
Quel thread mi era sfuggito. Grazie per averlo segnalato pilloeffe.[/quote]
Ciao gugo82 mi potresti spiegare la sostituzione con $tg x$ che mi hai anticipato in precedenza?
Beh, non c'è molto da spiegare, è una tecnica standard.
La sostituzione $t=\tan x$ si usa nei casi che ho ricordato, i.e. quando l'integrando è una funzione razionale di $\cos^2 x$, $\sin^2 x$, $\sin x \cos x$ e $\tan x$, per razionalizzare l'integrale, ossia per ricondurre il calcolo a quello dell'integrale di una funzione razionale.
Alcune considerazioni le trovi sicuramente sul tuo testo di riferimento, altre le trovi in queste dispensine; alcuni esercizi sull'integrazione, invece, li trovi qui.
La sostituzione $t=\tan x$ si usa nei casi che ho ricordato, i.e. quando l'integrando è una funzione razionale di $\cos^2 x$, $\sin^2 x$, $\sin x \cos x$ e $\tan x$, per razionalizzare l'integrale, ossia per ricondurre il calcolo a quello dell'integrale di una funzione razionale.
Alcune considerazioni le trovi sicuramente sul tuo testo di riferimento, altre le trovi in queste dispensine; alcuni esercizi sull'integrazione, invece, li trovi qui.
"gugo82":
Beh, non c'è molto da spiegare, è una tecnica standard.
La sostituzione $t=\tan x$ si usa nei casi che ho ricordato, i.e. quando l'integrando è una funzione razionale di $\cos^2 x$, $\sin^2 x$, $\sin x \cos x$ e $\tan x$, per razionalizzare l'integrale, ossia per ricondurre il calcolo a quello dell'integrale di una funzione razionale.
Alcune considerazioni le trovi sicuramente sul tuo testo di riferimento, altre le trovi in queste dispensine; alcuni esercizi sull'integrazione, invece, li trovi qui.
Grazie mille
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