Integrale superificiale con divergenza del campo vettoriale
ragazzi mi potete aiutare un attimo con questo esercizio...
sia T il solido generato dalla rotazione intorno all'asse z del dominio A rappresentato in figura. Sia T1 la parte di T che si proietta ortogonalmente nel piano (x,y) sul cerchio di raggio 1 con il centro nell'origine. Utilizzando il teorema della divergenza, calcolare il flusso uscente dalla frontiera di T1 del vettore $ v(x,y,z)=xy^2z I +z^2 J + 1/2 x^2z^2 K $
io ho iniziato con il calcolare la divergenza di v che risulta essere $ z(x^2+y^2) $ quindi considero $ E={ (x,y,z) in R^3 : (x,y) in B; 0<= z<=sqrt(1-x^2-y^2 } $ dopodiche calcolo l'integrale usando poi il teorema di cambiamento delle variabili ma il risultato che dovrebbe essere $ 3/2 pi $ è invece $ pi / 12 $ dove sbaglio??
sia T il solido generato dalla rotazione intorno all'asse z del dominio A rappresentato in figura. Sia T1 la parte di T che si proietta ortogonalmente nel piano (x,y) sul cerchio di raggio 1 con il centro nell'origine. Utilizzando il teorema della divergenza, calcolare il flusso uscente dalla frontiera di T1 del vettore $ v(x,y,z)=xy^2z I +z^2 J + 1/2 x^2z^2 K $
io ho iniziato con il calcolare la divergenza di v che risulta essere $ z(x^2+y^2) $ quindi considero $ E={ (x,y,z) in R^3 : (x,y) in B; 0<= z<=sqrt(1-x^2-y^2 } $ dopodiche calcolo l'integrale usando poi il teorema di cambiamento delle variabili ma il risultato che dovrebbe essere $ 3/2 pi $ è invece $ pi / 12 $ dove sbaglio??
Risposte
Non vedo la figura A...O c'è e sono io che non vedo ?
non riesco a caricarla cmq è la restrizione della corona circolare di raggi 1 e 2 con il centro nell'origine al quadrante ( x>0 z>0 ) del piano (x,z)
Io mi trovo $Phi=3/4pi$. Forse ho interpretato male il dominio A. Comunque ecco il calcolo.
Il dominio relativo è la parte colorata in giallo e analiticamente definito da :
$-1<=x<=1$
$-sqrt{1-x^2}<=y<=+sqrt{1-x^2}$
$+sqrt{1-x^2-y^2}<=z<=+sqrt{4-x^2-y^2}$
Pertanto il flusso è :
$Phi= int_{-1}^1dx int_{-sqrt{1-x^2}}^{+sqrt{1-x^2}}dy int_{+sqrt{1-x^2-y^2}}^{+sqrt{4-x^2-y^2}}z(x^2+y^2)dz$
Integrando rispetto a z :
$Phi=3/2int_{-1}^1dx int_{-sqrt{1-x^2}}^{+sqrt{1-x^2}}(x^2+y^2)dy $
Integrando rispetto ad y :
$Phi=3/2int_{-1}^1[2/3(2x^2+1)sqrt{1-x^2}]dx=2int_0^1(2x^2+1)sqrt{1-x^2}dx$
Infine, ponendo $x=sint$ ed integrando rispetto a t, si trova $Phi=3/4pi$
Si fa di tutto per rendere i testi degli esercizi il meno comprensibili possibile.
In ogni caso, essendo $A$ la corona circolare su $xz$ compresa tra i raggi $1<=r<=2$ ed essendo $T$ la sua rotazione attorno all'asse $z$, il solido che si ottiene è sostanzialmente una semisfera di raggio $r=2$ alla quale è stata tolta come parte interna una semisfera più piccola di raggio $r=1$. Ne segue che il dominio $T_1$ sul quale si deve lavorare è la semisfera di centro l'origine e raggio $r=1$.
Quindi dobbiamo calcolare $\int\int\int_{T_1}z(x^2+y^2)dxdydz$. Passando in coordinate sferiche abbiamo: $\theta \in [0,\pitext{/}2]$, $\psi \in [0,2\pi]$ e $\rho \in [0,1]$.
Tenendo presente che il Jacobiano della trasformazione in sferiche è $|J|=\rho^2sin\theta$, abbiamo quindi che:
In ogni caso, essendo $A$ la corona circolare su $xz$ compresa tra i raggi $1<=r<=2$ ed essendo $T$ la sua rotazione attorno all'asse $z$, il solido che si ottiene è sostanzialmente una semisfera di raggio $r=2$ alla quale è stata tolta come parte interna una semisfera più piccola di raggio $r=1$. Ne segue che il dominio $T_1$ sul quale si deve lavorare è la semisfera di centro l'origine e raggio $r=1$.
$\bbF=xy^2z\bb(\hati)+z^2\bb(\hatj)+1/2x^2z^2\bb(\hatk)->div(\bbF)=z(x^2+y^2)$.
Quindi dobbiamo calcolare $\int\int\int_{T_1}z(x^2+y^2)dxdydz$. Passando in coordinate sferiche abbiamo: $\theta \in [0,\pitext{/}2]$, $\psi \in [0,2\pi]$ e $\rho \in [0,1]$.
Tenendo presente che il Jacobiano della trasformazione in sferiche è $|J|=\rho^2sin\theta$, abbiamo quindi che:
$\int\int\int_{T_1}z(x^2+y^2)dxdydz=\int_{0}^(\pi/2)d\theta\int_{0}^(2\pi)d\psi\int_{0}^1\rho^5sin^3\thetacos\thetad\rho=$
$=2\pi\int_{0}^(\pi/2)sin^3\thetacos\thetad\theta\int_{0}^1\rho^5d\rho=2\pi\rho^6/6|_{0}^1\int_{0}^(\pi/2)sin^3\thetacos\thetad\theta=$
$=\pi/3\int_{0}^(\pi/2)sin^3\thetacos\thetad\theta=\pi/12sin^4\theta|_{0}^(\pi/2)=\pi/12$.
xkè lo jacobiano è ro quadro seno di teta ?? cmq ci troviamo con il calcolo finale..
La traccia recita così :
"...Sia T1 la parte di T che si proietta ortogonalmente nel piano (x,y) sul cerchio di raggio 1 con il centro nell'origine..."
Secondo me cotesta parte non è la semisfera piccola ma la parte in colore giallo che ho disegnata . E' quella
la parte della "semicorona sferica ", delimitata dalle due semisfere in figura, che si proietta ortogonalmente sul piano xy.
P.S. Concordo sul fatto che sta prendendo piega sul Forum un certo modo di rendere difficile la comprensione dei quesiti. Non so se per sciatteria o per che altro. Nessuno se la prenda a male se dico che "nascondere" inizialmente una parte importante come la "restrizione" per poi indicarla in un secondo momento è ...umoristico. Per così dire !
"...Sia T1 la parte di T che si proietta ortogonalmente nel piano (x,y) sul cerchio di raggio 1 con il centro nell'origine..."
Secondo me cotesta parte non è la semisfera piccola ma la parte in colore giallo che ho disegnata . E' quella
la parte della "semicorona sferica ", delimitata dalle due semisfere in figura, che si proietta ortogonalmente sul piano xy.
P.S. Concordo sul fatto che sta prendendo piega sul Forum un certo modo di rendere difficile la comprensione dei quesiti. Non so se per sciatteria o per che altro. Nessuno se la prenda a male se dico che "nascondere" inizialmente una parte importante come la "restrizione" per poi indicarla in un secondo momento è ...umoristico. Per così dire !
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