Integrale superficiale
\(\displaystyle \int\int_\Sigma yz dS \) dove \(\displaystyle \Sigma \) è la porzione di superficie \(\displaystyle z=y^2 \) contenuta in :\(\displaystyle \{ (x,y,z) \in R^3 : x \geq 0 , y \geq 0 , 0 \leq z \leq 1- x^2 - 3y^2 \} \)
dalle equazioni del dominio mi sono accorto che li estremi di integrazione si trovano in una superficie elittica perciò faccio un cambio di variabili passando in coordinate ellittiche. ovvero \(\displaystyle \left\{\begin{array}{rl} x_0 + a \rho cos(\theta) \\ y_0 + b \rho sin(\theta) \end{array}\right. \) dove \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) sono i semiassi dell'ellisse.il \(\displaystyle 1 \) problema e quello di vedere se devo prendere l'asse intero o dimezzarlo visto che il dominio sta solo nel primo quadrante. io penso di doverlo dimezzare. a me l'asse \(\displaystyle a \) mi esce in modulo \(\displaystyle 2 \) invece \(\displaystyle b \) esce in modulo \(\displaystyle 1 \) non sicuro se li ho calcolati bene. poi l'altro problema è quello di calcolare questo prodotto vettoriale \(\displaystyle || \sigma_u \wedge \sigma_v || \). visto che \(\displaystyle \sigma (u,v) = ( a \rho cos(\theta) , b \rho sin(\theta) ,b^2\rho^2 sin(\theta)^2) \) faccio la derivata parziale del primo e il secondo vettore rispetto a \(\displaystyle \rho \) e \(\displaystyle \theta \) e mi calcolo il determinante della matrice che formano e poi così calcolando anche il determinante della matrice del primo e terzo vettore e del secondo e il terzo vettore. ma il risultato esce sempre strano, o non faccio io bene i calcoli oppure ho sbagliato procedura..qualcuno mi potrebbe dare delle indicazioni su come dovrei fare? grazie.
dalle equazioni del dominio mi sono accorto che li estremi di integrazione si trovano in una superficie elittica perciò faccio un cambio di variabili passando in coordinate ellittiche. ovvero \(\displaystyle \left\{\begin{array}{rl} x_0 + a \rho cos(\theta) \\ y_0 + b \rho sin(\theta) \end{array}\right. \) dove \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) sono i semiassi dell'ellisse.il \(\displaystyle 1 \) problema e quello di vedere se devo prendere l'asse intero o dimezzarlo visto che il dominio sta solo nel primo quadrante. io penso di doverlo dimezzare. a me l'asse \(\displaystyle a \) mi esce in modulo \(\displaystyle 2 \) invece \(\displaystyle b \) esce in modulo \(\displaystyle 1 \) non sicuro se li ho calcolati bene. poi l'altro problema è quello di calcolare questo prodotto vettoriale \(\displaystyle || \sigma_u \wedge \sigma_v || \). visto che \(\displaystyle \sigma (u,v) = ( a \rho cos(\theta) , b \rho sin(\theta) ,b^2\rho^2 sin(\theta)^2) \) faccio la derivata parziale del primo e il secondo vettore rispetto a \(\displaystyle \rho \) e \(\displaystyle \theta \) e mi calcolo il determinante della matrice che formano e poi così calcolando anche il determinante della matrice del primo e terzo vettore e del secondo e il terzo vettore. ma il risultato esce sempre strano, o non faccio io bene i calcoli oppure ho sbagliato procedura..qualcuno mi potrebbe dare delle indicazioni su come dovrei fare? grazie.
Risposte
Io avrei fatto così :
iniziamo a pensare alla normale cioè quel modulo che devi calcolare . Il testo dice che $z=y^2$ e questo ti permette di parametrizzare una curva come $gamma=(x,y,y^2)$ Ora tu devi derivare rispetto ad x e ad y la curva , farne il prodotto vettoriale (con la matrice) e calcolare il modulo (radice quadrata del quadrato del prodotto vettoriale).
Secondo passaggio : nell'integrale oltre al modulo deve esserci la funzione di partenza $yz$ valutata nelle coordinate della curva ossia $y y^2 =y^3$.
Una volta svolti i calcoli puoi impostare l'integrale e direi che potresti iniziare ad integrare per fili paralleli all'asse z visto il dominio.
iniziamo a pensare alla normale cioè quel modulo che devi calcolare . Il testo dice che $z=y^2$ e questo ti permette di parametrizzare una curva come $gamma=(x,y,y^2)$ Ora tu devi derivare rispetto ad x e ad y la curva , farne il prodotto vettoriale (con la matrice) e calcolare il modulo (radice quadrata del quadrato del prodotto vettoriale).
Secondo passaggio : nell'integrale oltre al modulo deve esserci la funzione di partenza $yz$ valutata nelle coordinate della curva ossia $y y^2 =y^3$.
Una volta svolti i calcoli puoi impostare l'integrale e direi che potresti iniziare ad integrare per fili paralleli all'asse z visto il dominio.
fino a qui ci sto...la stessa impostazione ho fatto anch'io...il problema è che non riesco a trovarmi gli estremi di integrazione.visto che il dominio è una porzione di superficie ellittica..devo per forza parametrizzare altrimenti non posso trovare gli estremi di \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle y \).
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