Integrale superficiale
Salve, ho questo problema su un integrale superficiale:
$int_(S) z(y-2x)d sigma$, con S calotta della superficie sferica $x^2+y^2+z^2=16$ (con $z>=0$) che si proietta ortogonalmente sulla superficie $x^2+4y^2<=4 (x>=0,y>=0,z=0)$.
L'utente "enr87" mi ha dato un enorme mano nel risolvere un analogo esercizio, in cui però la superficie venive proiettata su un dominio D, mentre in questo caso la superficie si proietta su un'altra superficie (in più, viene aggiunto anche "ortogonalmente", che non ho capito se dovrebbe suggerirmi un qualcosa).
Ora ho parametrizzato la superficie $x^2+y^2+z^2=16$ in $psi=(4cos theta sin phi, 4sin theta sin phi, 4cos phi)$, con $(phi,theta) in [0;pi]x[0;2pi]$.
Ho poi trovato i 3 minori di ordine 2 (A,B,C), li ho quadrati e sommati ottenendo: $256 sin^2 phi$.
Nell'esercizio analogo in cui enr87 mi ha enormemente aiutato, avrei fatto così:
$int_(S) z(y-2x)d sigma=int int_(D) psi(phi,theta) sqrt(A^2+B^2+C^2) d phi d theta$, dove D è il dominio su cui si proiettava la superficie.
Nel caso che ho ora, come potrei procedere?
Ho riscritto la $x^2+4y^2<=4 $ come $(x^2)/4+y^2<=1$, ovvero è un ellisse con semiassi 2 e 1.
Io avevo pensato di disegnarmi tale superficie, vedere le limitazioni di x e y (o, eventualmente, passare a coordinate polari), ma non so se sia lecito.
Grazie per l'aiuto.
$int_(S) z(y-2x)d sigma$, con S calotta della superficie sferica $x^2+y^2+z^2=16$ (con $z>=0$) che si proietta ortogonalmente sulla superficie $x^2+4y^2<=4 (x>=0,y>=0,z=0)$.
L'utente "enr87" mi ha dato un enorme mano nel risolvere un analogo esercizio, in cui però la superficie venive proiettata su un dominio D, mentre in questo caso la superficie si proietta su un'altra superficie (in più, viene aggiunto anche "ortogonalmente", che non ho capito se dovrebbe suggerirmi un qualcosa).
Ora ho parametrizzato la superficie $x^2+y^2+z^2=16$ in $psi=(4cos theta sin phi, 4sin theta sin phi, 4cos phi)$, con $(phi,theta) in [0;pi]x[0;2pi]$.
Ho poi trovato i 3 minori di ordine 2 (A,B,C), li ho quadrati e sommati ottenendo: $256 sin^2 phi$.
Nell'esercizio analogo in cui enr87 mi ha enormemente aiutato, avrei fatto così:
$int_(S) z(y-2x)d sigma=int int_(D) psi(phi,theta) sqrt(A^2+B^2+C^2) d phi d theta$, dove D è il dominio su cui si proiettava la superficie.
Nel caso che ho ora, come potrei procedere?
Ho riscritto la $x^2+4y^2<=4 $ come $(x^2)/4+y^2<=1$, ovvero è un ellisse con semiassi 2 e 1.
Io avevo pensato di disegnarmi tale superficie, vedere le limitazioni di x e y (o, eventualmente, passare a coordinate polari), ma non so se sia lecito.
Grazie per l'aiuto.
Risposte
devi prendere la calotta che ha le z positive, quindi puoi usare la parametrizzazione cartesiana, che secondo me ti incasina di meno: $z = sqrt(16 - (x^2+y^2))$. prova a proseguire da qui.
dimenticavo: l'ellisse costituisce la restrizione per le x e le y, quindi in sostanza hai il solito integrale doppio. probabilmente si risolve con le coordinate polari ellittiche, prova così (il dominio lascia intuire questo).
dimenticavo: l'ellisse costituisce la restrizione per le x e le y, quindi in sostanza hai il solito integrale doppio. probabilmente si risolve con le coordinate polari ellittiche, prova così (il dominio lascia intuire questo).
"enr87":
devi prendere la calotta che ha le z positive, quindi puoi usare la parametrizzazione cartesiana, che secondo me ti incasina di meno: $z = sqrt(16 - (x^2+y^2))$. prova a proseguire da qui.
dimenticavo: l'ellisse costituisce la restrizione per le x e le y, quindi in sostanza hai il solito integrale doppio. probabilmente si risolve con le coordinate polari ellittiche, prova così (il dominio lascia intuire questo).
quindi, se ho ben capito, la rappresentazione cartesiana sarebbe del tipo:
$psi=(sqrt(16-x^2),sqrt(16-y^2),sqrt(16 - (x^2+y^2))$ ?
e praticamente, l'ellisse lo tratto come se fosse un dominio, da cui ricavare semplicemente le restrizioni di x e y?
no, quella cartesiana è per definizione del tipo (x, y, f(x,y)). basta solo che al posto di f(x,y) ci metti $sqrt(..)$
"enr87":
no, quella cartesiana è per definizione del tipo (x, y, f(x,y)). basta solo che al posto di f(x,y) ci metti $sqrt(..)$
ah, ok, pensavo che "x,y" stessero per "coefficienti di x e y".
per quanto riguarda il fatto dell'ellisse, lo considera semplicemente come un dominio da cui ricavare le limitazioni, no?
esattamente, ora puoi metterti al lavoro 
ok, perfetto, grazie 
"guybrush1989":
ok, perfetto, grazie
allora, per l'ellisse ho come limitazioni: $-2<=x<=2, 0<=y<=sqrt(1-x^2/4)
per superficie parametrizzata: $psi(x,y)=(x,y,sqrt(16-x^2-y^2)
ho considerato lo jacobiano, e calcolato i 3 minori di ordine 2, che ho quadrato e sommato;
alla fine, mi verrà un integrale del genere:
$int_S z(y-2x) d sigma = int int_(D) z(y-2x) sqrt(16/(16-x^2-y^2) d x d y$
a differenza dell'altro esercizio, la traccia mi mette anche la "z" nella funzione da integrare...in tale caso, essendo l'integrale doppio "limitato" alle 2 variabili x e y, posso trattare la z come una costante e portarla fuori dall'integrale durante la risoluzione di quest'ultimo?
sì, io farei così perchè è una costante rispetto alle variabili di integrazione
poichè quell'integrale in coordinate cartesiane era un pò difficile, ho trasformato in coordinate polari ellittiche. Avrò $0<=theta<=pi$, mentre per $rho$ farei così:
$x=arhocostheta->2rhocostheta
$y=brhosintheta->rhosintheta
di conseguenza $(x^2)/4+y^2=1$, e sostituendo diventa $rho^2cos^2theta+rho^2sin^2theta=1->rho^2=1->-1<=rho<=1
vedendo quì https://www.matematicamente.it/forum/int ... 36680.html , però, mi dice che sai che $rho$ deve essere maggiore di zero, quindi $0<=rho<=1
non ho ben capito il perchè dica così, ma immagino isa perchè $rho$ è la distanza del punto dal polo del sistema cartesiano polare, giusto?
naturalmente la "z" non viene toccata in alcun modo, vero?
$x=arhocostheta->2rhocostheta
$y=brhosintheta->rhosintheta
di conseguenza $(x^2)/4+y^2=1$, e sostituendo diventa $rho^2cos^2theta+rho^2sin^2theta=1->rho^2=1->-1<=rho<=1
vedendo quì https://www.matematicamente.it/forum/int ... 36680.html , però, mi dice che sai che $rho$ deve essere maggiore di zero, quindi $0<=rho<=1
non ho ben capito il perchè dica così, ma immagino isa perchè $rho$ è la distanza del punto dal polo del sistema cartesiano polare, giusto?
naturalmente la "z" non viene toccata in alcun modo, vero?
in preda alla disperazione, ho provato a risolvere sia con le mie mani, sia col pc gli itnegrali in forma cartesiana/polare, non arrivando a nulla di concreto.
Posto un attimo i calcoli perchè spero di aver sbagliato prima, altrimenti non riesco a risolvere tale integrale.
Ho parametrizzato la superficie:
$psi(x,y)=(x,y,sqrt(16-x^2-y^2)),
lo jacobiano è: $det((1, 0),(0, 1), (-x/sqrt(16-x^2-y^2),-y/sqrt(16-x^2-y^2)) e quindi
$A=x/sqrt(16-x^2-y^2),B=y/sqrt(16-x^2-y^2),C=1
Per le limitazioni dell'ellisse D:${-2<=x<=2, 0<=y<=sqrt(1-(x^2)/4)}
e l'integrale è:
$int int_(D) z(y-2x)sqrt(16/(16-x^2-y^2)dxdy)
mentre se passo in coordinate polari ellittiche, la limitazione T: ${0<=rho<=1, 0<=theta<=pi) se
$x=arhocostheta->2rhocostheta
$y=brhosintheta->rhosintheta
lo jacobiano è $2rho$
e l'integrale è:
$int int_(T) z(rhosintheta-4rhocostheta) 2rho sqrt(16/(16-4rho^2cos^2theta-rho^2sin^2theta))drho d theta
spero vivamente di aver sbagliato qualche calcolo, perchè io nessuno di questi 2 integrali riesco a finire
Posto un attimo i calcoli perchè spero di aver sbagliato prima, altrimenti non riesco a risolvere tale integrale.
Ho parametrizzato la superficie:
$psi(x,y)=(x,y,sqrt(16-x^2-y^2)),
lo jacobiano è: $det((1, 0),(0, 1), (-x/sqrt(16-x^2-y^2),-y/sqrt(16-x^2-y^2)) e quindi
$A=x/sqrt(16-x^2-y^2),B=y/sqrt(16-x^2-y^2),C=1
Per le limitazioni dell'ellisse D:${-2<=x<=2, 0<=y<=sqrt(1-(x^2)/4)}
e l'integrale è:
$int int_(D) z(y-2x)sqrt(16/(16-x^2-y^2)dxdy)
mentre se passo in coordinate polari ellittiche, la limitazione T: ${0<=rho<=1, 0<=theta<=pi) se
$x=arhocostheta->2rhocostheta
$y=brhosintheta->rhosintheta
lo jacobiano è $2rho$
e l'integrale è:
$int int_(T) z(rhosintheta-4rhocostheta) 2rho sqrt(16/(16-4rho^2cos^2theta-rho^2sin^2theta))drho d theta
spero vivamente di aver sbagliato qualche calcolo, perchè io nessuno di questi 2 integrali riesco a finire
credo che l'errore sia questo: abbiamo trascurato il fatto che stiamo integrando su una calotta sferica, e dunque $z = sqrt(16-x^2-y^2)$. sostituisci nell'integrale e vedi se ne esci vivo.
"enr87":
credo che l'errore sia questo: abbiamo trascurato il fatto che stiamo integrando su una calotta sferica, e dunque $z = sqrt(16-x^2-y^2)$. sostituisci nell'integrale e vedi se ne esci vivo.
sì, può essere, così almeno si toglie il denominatore della radice..ora provo.
grazie mille enr87, mi hai salvato di nuovo!!
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