Integrale superficiale

[Genny_it]

L'integrale è il seguente:
$int_s (xy+z)/(sqrt(1-3(x^2+y^2)+8z)) d sigma$ dove $S$ è il grafico della funzione $x^2+xy+y^2$ sul triangolo di vertici $O=(0,0); A=(1,0) B=(0,1)$
Bene volevo chiedere ma la funzione $x^2+xy+y^2$ sarebbe $z=x^2+xy+y^2$? e quindi la parametrizzazione diverrebbe:
$S={ ( x=u ),( y=v ),( z=u^2+uv+v^2 ):}$
l'ho chiesto perchè il risultato di questo esercizio è $1/4$ ma io proprio non riesco a trovarmi.
Come ho agito: mi sono parametrizzato la funzione $x^2+xy+y^2$ come scritto sopra, ed ho scritto il triangolo come:
$D={(x,y) in R^2 : x>=0, y>=0 , y<= 1-x}$ con $x$ $in$ $[0,1]$ e $y$ $in$ $[0,1-x]$
poi ho calcolato la
$varphi_u$
e
$varphi_v$
poi ho calcolato $E$, $F$,$G$
poi ho posto $d sigma = sqrt(EF-G^2) dudv$
ma da qui in poi non mi trovo (almeno credo) perchè verrebbero calcoli abbastanza articolati e non riesco a semplificare poi questa radice ($sqrt(EF-G^2) $) con la radice al denominatore dell'integrale ($int_s (xy+z)/(sqrt(1-3(x^2+y^2)+8z)) d sigma$ ) dopo averci sostituito le $x$ le $y$ e le $z$ con rispettivamente $u$, $v$ , $u^2+uv+v^2$ e $d sigma$ con $sqrt(EF-G^2) dudv$ (ho notato che di solito si semplificano sempre).
tralasciando quindi eventuali errori di calcolo che ho fatto,
l'integrale dopo aver effettuato le sostituzioni deve avere come estremi i seguenti $u$ in $[0,1]$ e $v$ in $[0,1-u]$ giusto?
Spero di aver scritto in modo abbastanza chiaro :/

[Genny_it]

grazie sei stato chiarissimo, avevo copiato la traccia male quindi