Integrale sulla frontiera $+\partialD$ con residui
Salve a tutti!Dovrei calcolare questo integrale utilizzando il metodo dei residui ma ho diverse difficoltà e credo di averlo sbagliato.Ad ogni modo riporto il mio svolgimento per intero.Vi ringrazio!
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Ho ricavato i seguenti poli della funzione integranda $f(z):
$sinz=0$ $->$ $z=kpi$ $AA k in Z$ (poli semplici);
$z(z^(4)+2z^(2)+1))=0$ $->$ $z=0$(polo semplice) e $z=+-j$ (poli del II ordine).
I poli che cadono internamente ad $D$ sono:
$z_(1)=0$ e $z_2=j$
Calcolo i residui in questi due poli.Il residuo in $z_1$ risulta:
$R[z_(1)]=lim_(z\to\0) z*(e^(z)-1)/(z*(z^(4)+2z^(2)+1)*sinz)=1$.
Mentre per calcolare il residuo in $z_2$ ho utilizzato la formula di Eulero per esplicitare il $sinz$ al denominatore e quindi la funzione $f(z)$ diventa
$f(z)=(2je^(z(1+j))-2je^(jz))/(z(z+j)^(2)*(z-j)^(2)*(e^(2jz)-1))$.
Il residuo essendo $z_2$ un polo doppio risulta:
$R[z_(2)]=lim_(z\to\j)d/(dz) (z-j)^(2)*(2je^(z(1+j))-2je^(jz))/(z(z+j)^(2)*(z-j)^(2)*(e^(2jz)-1))=$.
Per calcolare la derivata del rapporto interno al limite ho utilizzato la classica formula:
$D[f(z)]=D[(h(z))/(g(z))]=(h'(z)*g(z)-h(z)*g'(z))/([g(z)]^(2))$
e facendo dei conti abbastanza laboriosi ho ottenuto questo rapporto
$=(e^(j-1)(j-1)+e^(-1))/(2j(1-e^(-2)))$.
(ho ricontrollato i calcoli vista la stranezza di questo risultato ma mi trovo sempre la stessa cosa).
Infine ho applicato il I teorema dei residui e mi trovo che
$I=2pij+(pie^(j-1)(j-1)+pie^(-1))/(1-e^(-2))$
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Ho ricavato i seguenti poli della funzione integranda $f(z):
$sinz=0$ $->$ $z=kpi$ $AA k in Z$ (poli semplici);
$z(z^(4)+2z^(2)+1))=0$ $->$ $z=0$(polo semplice) e $z=+-j$ (poli del II ordine).
I poli che cadono internamente ad $D$ sono:
$z_(1)=0$ e $z_2=j$
Calcolo i residui in questi due poli.Il residuo in $z_1$ risulta:
$R[z_(1)]=lim_(z\to\0) z*(e^(z)-1)/(z*(z^(4)+2z^(2)+1)*sinz)=1$.
Mentre per calcolare il residuo in $z_2$ ho utilizzato la formula di Eulero per esplicitare il $sinz$ al denominatore e quindi la funzione $f(z)$ diventa
$f(z)=(2je^(z(1+j))-2je^(jz))/(z(z+j)^(2)*(z-j)^(2)*(e^(2jz)-1))$.
Il residuo essendo $z_2$ un polo doppio risulta:
$R[z_(2)]=lim_(z\to\j)d/(dz) (z-j)^(2)*(2je^(z(1+j))-2je^(jz))/(z(z+j)^(2)*(z-j)^(2)*(e^(2jz)-1))=$.
Per calcolare la derivata del rapporto interno al limite ho utilizzato la classica formula:
$D[f(z)]=D[(h(z))/(g(z))]=(h'(z)*g(z)-h(z)*g'(z))/([g(z)]^(2))$
e facendo dei conti abbastanza laboriosi ho ottenuto questo rapporto
$=(e^(j-1)(j-1)+e^(-1))/(2j(1-e^(-2)))$.
(ho ricontrollato i calcoli vista la stranezza di questo risultato ma mi trovo sempre la stessa cosa
).Infine ho applicato il I teorema dei residui e mi trovo che
$I=2pij+(pie^(j-1)(j-1)+pie^(-1))/(1-e^(-2))$
Risposte
Se può essere utile, tempo fa compilai un file sulla classificazione delle singolarità isolate; dovresti trovarlo ancora qui.
Ovviamente, come qualsiasi prodotto umano, quel file può contenere errori; quindi se c'è qualcosa che ti puzza fammelo sapere.
Ovviamente, come qualsiasi prodotto umano, quel file può contenere errori; quindi se c'è qualcosa che ti puzza fammelo sapere.
Non so se sia un caso fortuito, ma mi chiedo come tu abbia fatto a stabilire che 0 è un polo del 1 ordine...
"Driftin":
Non so se sia un caso fortuito, ma mi chiedo come tu abbia fatto a stabilire che 0 è un polo del 1 ordine...
Senz'altro l'esercizio è stato svolto erratamente altrimenti non credo che lo avrei riportato qui sul forum nè tantomeno avrei chiesto pareri in merito.
In questo esercizio ho utilizzato le proposizioni presenti sulle dispense dalle quali ho studiato:
$z=0$ è uno zero di ordine $M=1$ per la funzione al numeratore mentre è uno zero di ordine $N=2$ per la funzione al denominatore.
Visto che:
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allora il punto $z=0$ è un polo di ordine $N-M=2-1=1$.
ok, perfetto, dato che il numeratore non lo avevi citato proprio, credevo che non ti fossi accorto che la funzione $z*sin(z)$ fosse un polo del secondo ordine... il residuo in j anche a me viene fuori un numero un pò "anomalo", se vuoi domani faccio i conti con calma e ti posto la mia soluzione...
"Driftin":
ok, perfetto, dato che il numeratore non lo avevi citato proprio, credevo che non ti fossi accorto che la funzione $z*sin(z)$ fosse un polo del secondo ordine... il residuo in j anche a me viene fuori un numero un pò "anomalo", se vuoi domani faccio i conti con calma e ti posto la mia soluzione...
Si è vero non l'ho scritto.Ho preferito riportare quello che mi bloccava maggiormente!
Ti ho mandato un messaggio privato
e comunque la dispensa è una schifezza! perchè se m=n allora è una singolarità eliminabile, se m>n allora è uno zero cioè la funzione è analitica e non certo singolare!
e comunque la dispensa è una schifezza! perchè se m=n allora è una singolarità eliminabile, se m>n allora è uno zero cioè la funzione è analitica e non certo singolare!
"Driftin":
Ti ho mandato un messaggio privato
e comunque la dispensa è una schifezza! perchè se m=n allora è una singolarità eliminabile, se m>n allora è uno zero cioè la funzione è analitica e non certo singolare!
mmm..non mi è arrivato nulla!
"Driftin":
e comunque la dispensa è una schifezza! perchè se m=n allora è una singolarità eliminabile, se m>n allora è uno zero cioè la funzione è analitica e non certo singolare!
Non capisco questa frase.
Una singolarità eliminabile non è una "vera" singolarità, piuttosto un punto di regolarità "mascherato" dall'espressione elementare di una funzione.
Hai ragione, riprovo...
"gugo82":
[quote="Driftin"]e comunque la dispensa è una schifezza! perchè se m=n allora è una singolarità eliminabile, se m>n allora è uno zero cioè la funzione è analitica e non certo singolare!
Non capisco questa frase.
Una singolarità eliminabile non è una "vera" singolarità, piuttosto un punto di regolarità "mascherato" dall'espressione elementare di una funzione.[/quote]
quello che dici mi è perfettamente chiaro, ma le dispense di cui parla folgore le ho lette, è generano più confusione che altro!
Anche perchè sono relative al teorema dei residui, quindi alla fine sembra quasi che anche gli zeri debbano essere tenuti in conto nel teorema...
Con la mia affermazione ho semplicemente "tentato" di tagliare la testa al toro e fugare questo dubbio! in maniera poco "matematica" certo...ù
"Driftin":
ok, perfetto, dato che il numeratore non lo avevi citato proprio, credevo che non ti fossi accorto che la funzione $z*sin(z)$ fosse un polo del secondo ordine... il residuo in j anche a me viene fuori un numero un pò "anomalo", se vuoi domani faccio i conti con calma e ti posto la mia soluzione...
Guarda ti ringrazio!Mi fà piacere se c'è un confronto con la tua soluzione
@Driftin: Dispense di Greco?
Ad ogni modo, i dubbi possono essere fugati semplicemente leggendo e comprendendo gli enunciati dei teoremi dei residui, rinunciando ad applicarli automaticamente senza capirne il contenuto.
Se relegate la teoria a semplice complemento di un esame di Analisi, è chiaro che non capiate una ceppa di come si debbano affrontare correttamente gli esercizi... Tipico esempio? L'applicazione dei lemmi di Jordan.
Ad ogni modo, i dubbi possono essere fugati semplicemente leggendo e comprendendo gli enunciati dei teoremi dei residui, rinunciando ad applicarli automaticamente senza capirne il contenuto.
Se relegate la teoria a semplice complemento di un esame di Analisi, è chiaro che non capiate una ceppa di come si debbano affrontare correttamente gli esercizi... Tipico esempio? L'applicazione dei lemmi di Jordan.
No Gugo, le dispense di Greco anzi a mio avviso sono le migliori che ci siano!
Il "dispense" di cui parlo, sotto il paragrafo SINGOLARITA' AL FINITO comincia dicendo (vado a memoria)
Si dice che una funzione f(z) ha uno zero di ordine N se il suo sviluppo in serie di taylor ecc.. ecc..
Messa cosi, capirai che la situazione diventa davvero ambigua...
Il "dispense" di cui parlo, sotto il paragrafo SINGOLARITA' AL FINITO comincia dicendo (vado a memoria)
Si dice che una funzione f(z) ha uno zero di ordine N se il suo sviluppo in serie di taylor ecc.. ecc..
Messa cosi, capirai che la situazione diventa davvero ambigua...
"Driftin":
No Gugo, le dispense di Greco anzi a mio avviso sono le migliori che ci siano!
E che roba è, allora?
Se non è materiale dei docenti o se non lo reputate buono, perchè lo usate lo stesso?
"gugo82":
[quote="Driftin"]No Gugo, le dispense di Greco anzi a mio avviso sono le migliori che ci siano!
E che roba è, allora?
Se non è materiale dei docenti o se non lo reputate buono, perchè lo usate lo stesso?[/quote]
Guarda a me non va di fare nomi comunque più di una persona "autorevole" mi ha detto di buttarle nella spazzatura...
@Driftin: Hai un PM.
"gugo82":
@Driftin: Dispense di Greco?
Ad ogni modo, i dubbi possono essere fugati semplicemente leggendo e comprendendo gli enunciati dei teoremi dei residui, rinunciando ad applicarli automaticamente senza capirne il contenuto.
Se relegate la teoria a semplice complemento di un esame di Analisi, è chiaro che non capiate una ceppa di come si debbano affrontare correttamente gli esercizi... Tipico esempio? L'applicazione dei lemmi di Jordan.
semplicemente credevo che folgore fosse incappato nel mio stesso errore, paradossalmente il tuo esempio del lemma di jordan mi da lo spunto per chiarirti cosa intendo:
Nel lemma di jordan si parla in maniera chiara di poli, quindi nessun problema nel suo enunciato, nella sua definizione e nella sua applicazione
Nel teorema dei residui si parla di singolarità, se nel parlare di singolarità includi gli zeri di una funzione, capirai che si fa solo una gran confusione...
E' come se ad esempio di forma indeterminata di una funzione reale adducessi $f(x)=x^3/x^2$ ad uno studente del liceo... lo mandi fuori di testa... penserà che $f(x)=x$ è una forma indeterminata...
"gugo82":
@Driftin: Dispense di Greco?
Ad ogni modo, i dubbi possono essere fugati semplicemente leggendo e comprendendo gli enunciati dei teoremi dei residui, rinunciando ad applicarli automaticamente senza capirne il contenuto.
Se relegate la teoria a semplice complemento di un esame di Analisi, è chiaro che non capiate una ceppa di come si debbano affrontare correttamente gli esercizi... Tipico esempio? L'applicazione dei lemmi di Jordan.
Sono daccordo!Soprattutto con il "tipico esempio".Mi dispiace che con questo esercizio ho generato un pò di scompiglio
@Gugo82
Ti ringrazio per la dispensa!Se dovessi trovare qualcosa che come dici tu "mi puzza" te lo comunicherò senz'altro
"Driftin":
[quote="gugo82"]@Driftin: Dispense di Greco?
Ad ogni modo, i dubbi possono essere fugati semplicemente leggendo e comprendendo gli enunciati dei teoremi dei residui, rinunciando ad applicarli automaticamente senza capirne il contenuto.
Se relegate la teoria a semplice complemento di un esame di Analisi, è chiaro che non capiate una ceppa di come si debbano affrontare correttamente gli esercizi... Tipico esempio? L'applicazione dei lemmi di Jordan.
Nel teorema dei residui si parla di singolarità, se nel parlare di singolarità includi gli zeri di una funzione, capirai che si fa solo una gran confusione...
E' come se ad esempio di forma indeterminata di una funzione reale adducessi $f(x)=x^3/x^2$ ad uno studente del liceo... lo mandi fuori di testa... penserà che $f(x)=x$ è una forma indeterminata...[/quote]
Il problema è che, per le funzioni elementari, la classificazione delle singolarità va a braccetto con la determinazione dell'ordine degli zeri; non ci puoi fare nulla, è necessariamente così.
E poi, aggiungo, uno studente universitario del secondo anno dovrebbe essere certamente più smaliziato di uno sbarbatello del liceo, no?
Dovrebbe essere "maturo"... Ah, ma dimenticavo: ormai l'esame non si chiama più maturità, quindi i ragazzi sono esentati anche dal sembrare più maturi quando s'iscrivono all'università.
Scusa ma non sono d' accordo, io posso dire che la funzione $f(z^3/z^2)$ è analitica oppure dire che "presenta infinite singolarità eliminabili", se permetti, sebbene siano tutte e due formalmente corrette, preferisco la prima.
D' altra parte c' è anche una gran confusione sul temine "singolarita eliunabile" su alcuni testi è usato per indicare sia i casi con n>m che quelli con n=m cioè usato in luogo di "forma indeterminata" (lasciami passare l'imprecisione); altri invece lo usano per indicare esclusivamente le funzioni analitiche e non nulle in un certo punto.
Non posso dire semplicemente:
una funzione o è analitica o è singolare ( perchè dire che è analitica e singolare è un pò come dire che è derivabile ma anche no )
Le singolarità sono:
1)polari
2)essenziali
i punti di analiticita sono:
1) gli zeri
e poi possiamo metterci d' accordo su cosa si intende per singolarità eliminabile io preferisco indicare il caso n=m cioè analitica e non nulla (proprio perchè il nome rievoca molto il nome discontinuità eliminabile)
e nei casi di incertezza si passa ai limiti o a taylor ma resta il fatto che la funzione o è singolare o analitica!
Correggimi se sbaglio, ma credo di no, anche perchè non sto parlando di matematica, ma semplicemente del nome con cui chiamare cose diverse, potremmo parlare anche di storiografia!
D' altra parte c' è anche una gran confusione sul temine "singolarita eliunabile" su alcuni testi è usato per indicare sia i casi con n>m che quelli con n=m cioè usato in luogo di "forma indeterminata" (lasciami passare l'imprecisione); altri invece lo usano per indicare esclusivamente le funzioni analitiche e non nulle in un certo punto.
Non posso dire semplicemente:
una funzione o è analitica o è singolare ( perchè dire che è analitica e singolare è un pò come dire che è derivabile ma anche no )
Le singolarità sono:
1)polari
2)essenziali
i punti di analiticita sono:
1) gli zeri
e poi possiamo metterci d' accordo su cosa si intende per singolarità eliminabile io preferisco indicare il caso n=m cioè analitica e non nulla (proprio perchè il nome rievoca molto il nome discontinuità eliminabile)
e nei casi di incertezza si passa ai limiti o a taylor ma resta il fatto che la funzione o è singolare o analitica!
Correggimi se sbaglio, ma credo di no, anche perchè non sto parlando di matematica, ma semplicemente del nome con cui chiamare cose diverse, potremmo parlare anche di storiografia!
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