Integrale sulla frontiera $+\partialD$ con residui
Salve a tutti!Dovrei calcolare questo integrale utilizzando il metodo dei residui ma ho diverse difficoltà e credo di averlo sbagliato.Ad ogni modo riporto il mio svolgimento per intero.Vi ringrazio!
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Ho ricavato i seguenti poli della funzione integranda $f(z):
$sinz=0$ $->$ $z=kpi$ $AA k in Z$ (poli semplici);
$z(z^(4)+2z^(2)+1))=0$ $->$ $z=0$(polo semplice) e $z=+-j$ (poli del II ordine).
I poli che cadono internamente ad $D$ sono:
$z_(1)=0$ e $z_2=j$
Calcolo i residui in questi due poli.Il residuo in $z_1$ risulta:
$R[z_(1)]=lim_(z\to\0) z*(e^(z)-1)/(z*(z^(4)+2z^(2)+1)*sinz)=1$.
Mentre per calcolare il residuo in $z_2$ ho utilizzato la formula di Eulero per esplicitare il $sinz$ al denominatore e quindi la funzione $f(z)$ diventa
$f(z)=(2je^(z(1+j))-2je^(jz))/(z(z+j)^(2)*(z-j)^(2)*(e^(2jz)-1))$.
Il residuo essendo $z_2$ un polo doppio risulta:
$R[z_(2)]=lim_(z\to\j)d/(dz) (z-j)^(2)*(2je^(z(1+j))-2je^(jz))/(z(z+j)^(2)*(z-j)^(2)*(e^(2jz)-1))=$.
Per calcolare la derivata del rapporto interno al limite ho utilizzato la classica formula:
$D[f(z)]=D[(h(z))/(g(z))]=(h'(z)*g(z)-h(z)*g'(z))/([g(z)]^(2))$
e facendo dei conti abbastanza laboriosi ho ottenuto questo rapporto
$=(e^(j-1)(j-1)+e^(-1))/(2j(1-e^(-2)))$.
(ho ricontrollato i calcoli vista la stranezza di questo risultato ma mi trovo sempre la stessa cosa).
Infine ho applicato il I teorema dei residui e mi trovo che
$I=2pij+(pie^(j-1)(j-1)+pie^(-1))/(1-e^(-2))$
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Ho ricavato i seguenti poli della funzione integranda $f(z):
$sinz=0$ $->$ $z=kpi$ $AA k in Z$ (poli semplici);
$z(z^(4)+2z^(2)+1))=0$ $->$ $z=0$(polo semplice) e $z=+-j$ (poli del II ordine).
I poli che cadono internamente ad $D$ sono:
$z_(1)=0$ e $z_2=j$
Calcolo i residui in questi due poli.Il residuo in $z_1$ risulta:
$R[z_(1)]=lim_(z\to\0) z*(e^(z)-1)/(z*(z^(4)+2z^(2)+1)*sinz)=1$.
Mentre per calcolare il residuo in $z_2$ ho utilizzato la formula di Eulero per esplicitare il $sinz$ al denominatore e quindi la funzione $f(z)$ diventa
$f(z)=(2je^(z(1+j))-2je^(jz))/(z(z+j)^(2)*(z-j)^(2)*(e^(2jz)-1))$.
Il residuo essendo $z_2$ un polo doppio risulta:
$R[z_(2)]=lim_(z\to\j)d/(dz) (z-j)^(2)*(2je^(z(1+j))-2je^(jz))/(z(z+j)^(2)*(z-j)^(2)*(e^(2jz)-1))=$.
Per calcolare la derivata del rapporto interno al limite ho utilizzato la classica formula:
$D[f(z)]=D[(h(z))/(g(z))]=(h'(z)*g(z)-h(z)*g'(z))/([g(z)]^(2))$
e facendo dei conti abbastanza laboriosi ho ottenuto questo rapporto
$=(e^(j-1)(j-1)+e^(-1))/(2j(1-e^(-2)))$.
(ho ricontrollato i calcoli vista la stranezza di questo risultato ma mi trovo sempre la stessa cosa
).Infine ho applicato il I teorema dei residui e mi trovo che
$I=2pij+(pie^(j-1)(j-1)+pie^(-1))/(1-e^(-2))$
Risposte
Beh personalmente l'esame di stato della scuola media superiore non è mai stato un esame di maturità gli esami di maturità sono ben altri!Se poi ti riferisci al fatto che
le università italiane sono diventate dei "parcheggi" o degli "intrattenimenti" allora sono pienamente daccordo con te.Ma purtroppo credo che forse a qualcuno fà piacere la permanenza degli studenti all'interno di quest'ultime.
Tornando all'esame di "Metodi matematici per l'ingegneria" l'utente Driftin credo che intendeva dire che non ci sono testi adeguatissimi per studiare per bene questo esame e me lo hai scritto stesso tu in un altro post.Per quanto riguarda la dispensa del Prof. Greco è in parte incomprensibile almeno per me e infatti alcuni argomenti li ho affrontati
su altri testi come il Codegone che mi ha permesso di capire per bene i "lemmi di Jordan".
le università italiane sono diventate dei "parcheggi" o degli "intrattenimenti" allora sono pienamente daccordo con te.Ma purtroppo credo che forse a qualcuno fà piacere la permanenza degli studenti all'interno di quest'ultime.
Tornando all'esame di "Metodi matematici per l'ingegneria" l'utente Driftin credo che intendeva dire che non ci sono testi adeguatissimi per studiare per bene questo esame e me lo hai scritto stesso tu in un altro post.Per quanto riguarda la dispensa del Prof. Greco è in parte incomprensibile almeno per me e infatti alcuni argomenti li ho affrontati
su altri testi come il Codegone che mi ha permesso di capire per bene i "lemmi di Jordan".
@Driftin: Come volevasi dimostrare. 
Nella definizione di singolarità eliminabile non c'è nessuna distinzione di casi; quelle che citi sono "regole operative" su come si determina se un punto è una singolarità eliminabile o no ed, in caso positivo, se esso è uno zero o no.
La definizione di singolarità eliminabile è la seguente:
Quindi, in soldoni, una singolarità isolata è di tipo eliminabile se è possibile prolungare la funzione sul punto in modo olomorfo.
Poi c'è un bel teorema (di Riemann, se non erro) che elenca alcune condizioni necessarie e sufficienti affinché una singolarità sia eleminabile:
Le condizioni ii-iv sono tutte strettamente più deboli della definizione: infatti la ii richiede solo la continuità del prolungamento di [tex]$f(z)$[/tex] in [tex]$z_0$[/tex] e non la sua derivabilità in [tex]$z_0$[/tex]; la iii è una semplice relazione di limite; la iv è una proprietà del modulo di [tex]$f(z)$[/tex]; inoltre le ii-iv sono abbastanza agevoli da verificare. Perciò le ii-iv sono molto più adatte da usare per controllare se una singolarità è eliminabile rispetto alla definizione.
N.B.: In particolare la ii assicura che [tex]$z_0$[/tex] è una singolarità eliminabile se e solo se esiste finito il [tex]$\lim_{z\to z_0, z\in \Omega} f(z)$[/tex].
Nella definizione di singolarità eliminabile non c'è nessuna distinzione di casi; quelle che citi sono "regole operative" su come si determina se un punto è una singolarità eliminabile o no ed, in caso positivo, se esso è uno zero o no.
La definizione di singolarità eliminabile è la seguente:
Siano [tex]$\Omega \in \mathbb{C}$[/tex] un aperto non vuoto, [tex]$z_0\in \Omega$[/tex] ed [tex]$f:\Omega\setminus \{ z_0\} \to \mathbb{C}$[/tex] olomorfa.
Si dice che [tex]$f(z)$[/tex] ha una singolarità eliminabile in [tex]$z_0$[/tex] (oppure che [tex]$z_0$[/tex] è una singolarità eliminabile per [tex]$f(z)$[/tex]) se esiste una funzione [tex]$\widetilde{f}:\Omega \to \mathbb{C}$[/tex] olomorfa in [tex]$\Omega$[/tex] tale che:
[tex]$\forall z\in \Omega \setminus \{ z_0\},\quad \widetilde{f}(z) =f(z)$[/tex].
Quindi, in soldoni, una singolarità isolata è di tipo eliminabile se è possibile prolungare la funzione sul punto in modo olomorfo.
Poi c'è un bel teorema (di Riemann, se non erro) che elenca alcune condizioni necessarie e sufficienti affinché una singolarità sia eleminabile:
Siano [tex]$\Omega \in \mathbb{C}$[/tex] un aperto non vuoto, [tex]$z_0\in \Omega$[/tex] ed [tex]$f:\Omega\setminus \{ z_0\} \to \mathbb{C}$[/tex] olomorfa.
Le seguenti proposizioni sono equivalenti:
i. il punto [tex]$z_0$[/tex] è una singolarità eliminabile per [tex]$f(z)$[/tex];
ii. la funzione [tex]$f(z)$[/tex] si può prolungare in modo continuo su [tex]$z_0$[/tex], cioè esiste una funzione [tex]$\widehat{f}:\Omega \to \mathbb{C}$[/tex] continua tale che:
[tex]$\forall z\in \Omega \setminus \{ z_0\},\quad \widehat{f}(z) =f(z)$[/tex];
iii. risulta [tex]$\lim_{z\to z_0, z\in \Omega} (z-z_0) f(z)=0$[/tex];
iv. [tex]$f(z)$[/tex] è limitata intorno a [tex]$z_0$[/tex].
Le condizioni ii-iv sono tutte strettamente più deboli della definizione: infatti la ii richiede solo la continuità del prolungamento di [tex]$f(z)$[/tex] in [tex]$z_0$[/tex] e non la sua derivabilità in [tex]$z_0$[/tex]; la iii è una semplice relazione di limite; la iv è una proprietà del modulo di [tex]$f(z)$[/tex]; inoltre le ii-iv sono abbastanza agevoli da verificare. Perciò le ii-iv sono molto più adatte da usare per controllare se una singolarità è eliminabile rispetto alla definizione.
N.B.: In particolare la ii assicura che [tex]$z_0$[/tex] è una singolarità eliminabile se e solo se esiste finito il [tex]$\lim_{z\to z_0, z\in \Omega} f(z)$[/tex].
Gugo, hai ragione, se hai il codegone a portata di mano digli un occhiata, poi mi dici, Folgore dice che Greco è incomprensibile, ma almeno è rigoroso dal punto di vista matematico e non genera dubbi...
Ritornando all' argomento originario del post:
$ oint_(D) (e^z - 1)/(z(z+j)^2(z-j)^2sin(z))dz $
Il numeratore si annulla in $2kpij$ zeri del primo ordine, in particolare per $k=0$ si annulla in $z=0$ appartenente a D con uno zero del primo ordine
Il denominatore si annulla in z=0 con uno zero del secondo ordine ($zsin(z)$)
lo sero è per $f(z)$ un polo del primo ordine, il residuo in zero è banale ed è pari ad uno
L' altro punto in cui il denominatore si annulla è $z=j$ polo del secondo ordine, si ha che il residuo in j vale:
$ lim_(z -> j)[d/dz((e^z-1)/(z(z+j)^2sin(z)))] = lim_(z -> j)([ze^z[z(z+j)^2sinz] - (e^z-1)[(sinz+zcosz)(z+j)^2+2z(z+j)sinz])/(z(z+j)^2sinz)^2) = $
$ [(je^j)(-4jsinj) - (e^j-1)[(sinj+jcosj)(2j)^2 +(2j)^2sinj]]/(j(2j)^2sinj)^2 $
ora posso scrivere:
$ sinj+jcosj $ come $ 1/je^(-1) $
e esprimo sinj con eulero
$ [4e^j*(e^(-1)-e)/(2j) -4(e^j-1)[e^(-1)/j-(e^(-1)-e)/(2j)]]/(-16[(e^(-1)-e)/(2j)]^2) $
Da qui con un pò di conti dovrebbe venirti fuori:
$ j/2(1/(e^(-1)-e)) $
Il che sembra abbastanza plausibile, o almeno non è un numero poi tanto indecente!
Ritornando all' argomento originario del post:
$ oint_(D) (e^z - 1)/(z(z+j)^2(z-j)^2sin(z))dz $
Il numeratore si annulla in $2kpij$ zeri del primo ordine, in particolare per $k=0$ si annulla in $z=0$ appartenente a D con uno zero del primo ordine
Il denominatore si annulla in z=0 con uno zero del secondo ordine ($zsin(z)$)
lo sero è per $f(z)$ un polo del primo ordine, il residuo in zero è banale ed è pari ad uno
L' altro punto in cui il denominatore si annulla è $z=j$ polo del secondo ordine, si ha che il residuo in j vale:
$ lim_(z -> j)[d/dz((e^z-1)/(z(z+j)^2sin(z)))] = lim_(z -> j)([ze^z[z(z+j)^2sinz] - (e^z-1)[(sinz+zcosz)(z+j)^2+2z(z+j)sinz])/(z(z+j)^2sinz)^2) = $
$ [(je^j)(-4jsinj) - (e^j-1)[(sinj+jcosj)(2j)^2 +(2j)^2sinj]]/(j(2j)^2sinj)^2 $
ora posso scrivere:
$ sinj+jcosj $ come $ 1/je^(-1) $
e esprimo sinj con eulero
$ [4e^j*(e^(-1)-e)/(2j) -4(e^j-1)[e^(-1)/j-(e^(-1)-e)/(2j)]]/(-16[(e^(-1)-e)/(2j)]^2) $
Da qui con un pò di conti dovrebbe venirti fuori:
$ j/2(1/(e^(-1)-e)) $
Il che sembra abbastanza plausibile, o almeno non è un numero poi tanto indecente!
"Driftin":
Gugo, hai ragione, se hai il codegone a portata di mano digli un occhiata, poi mi dici, Folgore dice che Greco è incomprensibile
Non ho detto che è interamente incomprensibile!Ho solo detto che è in parte incomprensibile ovvero ci sono alcuni argomenti che a "parere mio" sono trattati
meglio sul Codegone!Ti ricordo che qualche messaggio fà lo hai scritto tu che:
"Driftin":
Ti ho mandato un messaggio privato
e comunque la dispensa è una schifezza! perchè se m=n allora è una singolarità eliminabile, se m>n allora è uno zero cioè la funzione è analitica e non certo singolare!
non di certo io.Ora invece dici che è rigoroso!eheheh!!
Ad ogni modo fino a questo punto:
$ [(je^j)(-4jsinj) - (e^j-1)[(sinj+jcosj)(2j)^2 +(2j)^2sinj]]/(j(2j)^2sinj)^2 $
mi trovo come te.Sicuramente quando ho inaugurato questo post con il suddetto esercizio ho sbagliato i passaggi successivi a questo o quello precedente (errori di calcolo o di distrazione).
Infatti pensavo fosse il codegone, ho toppato di brutto!
A voler essere ancora più preciso si può fare un ulteriore passaggio e viene fuori:
$ j/2(1/(e^(-1)-e)) $ = $ j/2(1/(2jsin(j))) = 1/4(1/sin(j)) $
$ j/2(1/(e^(-1)-e)) $ = $ j/2(1/(2jsin(j))) = 1/4(1/sin(j)) $
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