Integrale Sulla Curva

[martinmistere1]

Ho questo integrale

$\int_Gamma e^z/(z^2*(z-1))dz$ con $Gamma=deltaB(0,2)$

ho pensato di svolgerlo così e volevo avere l'ok visto che non ho risultati con cui confrontarmi.

poichè al denominatore ho $z^2*(z-1)$ ho che la funzione è olomorfa in $CC\{0,1}$

per cui ho calcolato i residui:

$Res(f(z),0)=lim_{z \to \0} D[e^z/(z-1)]=-2$

e

$Res(f(z),1)=lim_{z \to \1} e^z/(z^2)=e$

per cui:

$\int_Gamma e^z/(z^2*(z-1))dz=2*pi*i*[e-2]$

giusto?

[dissonance]

Come li hai calcolati quei residui? Scrivi qui la definizione di residuo, per favore.

[martinmistere1]

ho usato questa formula qui:

$lim_(z->zo)1/((k-1)!)*D^(k-1)[(z-zo)^k*f(z)]$


xkè?è sbagliata?

[dissonance]

E $k$ chi è? No, lo dico perché ho l'impressione che parli di residui, ma cosa siano non lo sai. Una definizione, sapresti darla?

[martinmistere1]

k non dovrebbe essere l'ordine del polo?in questo caso io avrei in 0 un polo del secondo ordine e in 1 un polo di primo ordine.

la definizione di residuo che conosco è che esso è

$\int_gamma f(z)dz=2*pi*i*Res(f,zo)$

con $f:Omega\{zo}->CC$

[dissonance]

Vabbè, senti, i conti che hai fatto all'inizio sono pure giusti. Però, la definizione di residuo non la dici bene. Ti consiglio di ripassarla, perché quella formula che hai citato prima è traditrice, si dimentica molto facilmente e se non sai bene la definizione non riesci a recuperarla. Puoi guardare anche su Wikipedia:

http://it.wikipedia.org/wiki/Residuo_(analisi_complessa)#Definizione

[martinmistere1]

okki grazie

posso però chiederti qualche altra delucidazione?
stavo sfogliando qualche "vecchio" topic del forum per cercare di capire come svolgere al meglio questi integrali con i residui e mi sono imbattuto in questa discussione: https://www.matematicamente.it/forum/hel ... 68488.html

in particolare avrei una domanda in merito alla risposta di gugo82 (relativa al 7o post della discussione), ovvero quando afferma:

Visto che $k*pi$ con "k* != 0 "è zero d'ordine $1$ del seno, esso sarà zero d'ordine $2$ per $sin^2 z$ e, visto che il fattore $z$ non si annulla in $k*pi$ con k* != 0 , possiamo affermare che con $k*pi$ è uno zero del secondo ordine per $D(z)$ e, quindi, un polo d'ordine $2$ per $f(z)$ . (fin qui non ho problemi)
Il punto $0 $ è uno zero d'ordine $1$ per $N(z)$ e di ordine $3$ per $D(z)$ (ciò si vede sviluppando in serie di Taylor), ergo esso è un polo d'ordine $2$ per $f(z)$ .

perchè il punto $0$ è di ordine $3$?cosa sviluppa in serie di taylor?questo passaggio mi sfugge.

[dissonance]

Basta sapere cosa significa "zero di ordine $3$". Siamo daccapo: la teoria. Se non la sai bene, puoi anche impapocchiare un esame imparando qualche metodo a macchinetta, ma poi, credimi (perché m'è successo ): dopo neanche un mese ti scordi tutto.

Vatti a rivedere le definizioni di "ordine" di uno zero e di un polo. Poi ragiona un attimo e vedi che capirai cosa ha fatto Gugo.

[martinmistere1]

ok domani gli do uno sguardo. diciamo che sono combattuto da una parte devo/vorrei impapocchiare (per usare una tua citazione) l'esame in quanto ultimo esame della specialistica, esame da fare fra 2 settimane e stanchezza e stress mentale che non ti dico...dall'altro come puoi notare vince in me il voler capire e quindi l'approfondire ma purtroppo non ho appunti validi a cui far riferimento (il libro di testo non sempre è intuitivo...ci fosse 1 esempio a pagarlo...) per cui son costretto a trovare info su internet e qui sul foro e soprattutto non tocco matematica da 5anni che è la cosa più grave

ad ogni modo se non ti è di disturbo mi linkeresti qualcosa in merito?grazie