Integrale sul bordo con Teorema dei Residui
Salve,
Ho il seguente integrale da svolgere utilizzando il teorema dei residui:
\(\displaystyle \int_{+\delta D}\frac{z^{3}e^{\frac{1}{z}}cos(\frac{1}{z-1})}{(2z^2+1)(2z^2-7z+3)}dz \)
dove $+\delta D$ indica il bordo (in senso antiorario) del dominio D, definito come:
$D={z \in \mathbb{C} : | z |<2}$ (circonferenza centrata nello zero del piano complesso con raggio 2).
Come di consueto, definendo la funzione \(\displaystyle f(z)=\frac{z^{3}e^{\frac{1}{z}}cos(\frac{1}{z-1})}{4(z-\frac{j}{\sqrt{2}})(z+\frac{j}{\sqrt{2}})(z^2-\frac{7}{2}z+\frac{3}{2})} \)
ho poi computato le singolarità presenti al denominatore:
$z=\frac{j}{\sqrt{2}}$ , $z=-\frac{j}{\sqrt{2}}$ , $z=\frac{1}{2}$ , $z=3$
Essendo zeri solo del denominatore, è facile dedurre le loro molteplicità e, di conseguenza, l'ordine del polo; in questo caso, tutti le singolarità elencate sono poli semplici (o poli del primo ordine, come dir si voglia). Inoltre, cadono tutte all'interno di $D$, tranne che $z=3$
Avrei "finito" qui se non fosse per le singolarità presenti al numeratore :
$z=0$ (singolarità essenziale) ;
$cos(\frac{1}{z-1})=0$ \(\displaystyle \rightarrow \) $z_{k}=\frac{2}{pi+4k*pi}+1$ dove $k \in \mathbb{Z} $ (successione di singolarità essenziali)
Ed ecco il mio problema: ho "troppi" $z_{k}$ che cadono all'interno di $D$ e, di conseguenza, non risulta facile svolgere:
$I=2\pi j \sum_{i}^{n}Res(f(z),z_{i})$ dove $z_{i}$ indica le singolarità all'interno $D$
Dunque, ho tentato di aggirare il problema con lo sviluppo di Laurent al numeratore ma non credo di averlo applicato correttamente. Qualsiasi suggerimento è ben accetto, grazie per l'attenzione
Ho il seguente integrale da svolgere utilizzando il teorema dei residui:
\(\displaystyle \int_{+\delta D}\frac{z^{3}e^{\frac{1}{z}}cos(\frac{1}{z-1})}{(2z^2+1)(2z^2-7z+3)}dz \)
dove $+\delta D$ indica il bordo (in senso antiorario) del dominio D, definito come:
$D={z \in \mathbb{C} : | z |<2}$ (circonferenza centrata nello zero del piano complesso con raggio 2).
Come di consueto, definendo la funzione \(\displaystyle f(z)=\frac{z^{3}e^{\frac{1}{z}}cos(\frac{1}{z-1})}{4(z-\frac{j}{\sqrt{2}})(z+\frac{j}{\sqrt{2}})(z^2-\frac{7}{2}z+\frac{3}{2})} \)
ho poi computato le singolarità presenti al denominatore:
$z=\frac{j}{\sqrt{2}}$ , $z=-\frac{j}{\sqrt{2}}$ , $z=\frac{1}{2}$ , $z=3$
Essendo zeri solo del denominatore, è facile dedurre le loro molteplicità e, di conseguenza, l'ordine del polo; in questo caso, tutti le singolarità elencate sono poli semplici (o poli del primo ordine, come dir si voglia). Inoltre, cadono tutte all'interno di $D$, tranne che $z=3$
Avrei "finito" qui se non fosse per le singolarità presenti al numeratore :
$z=0$ (singolarità essenziale) ;
$cos(\frac{1}{z-1})=0$ \(\displaystyle \rightarrow \) $z_{k}=\frac{2}{pi+4k*pi}+1$ dove $k \in \mathbb{Z} $ (successione di singolarità essenziali)
Ed ecco il mio problema: ho "troppi" $z_{k}$ che cadono all'interno di $D$ e, di conseguenza, non risulta facile svolgere:
$I=2\pi j \sum_{i}^{n}Res(f(z),z_{i})$ dove $z_{i}$ indica le singolarità all'interno $D$
Dunque, ho tentato di aggirare il problema con lo sviluppo di Laurent al numeratore ma non credo di averlo applicato correttamente. Qualsiasi suggerimento è ben accetto, grazie per l'attenzione
Risposte
Scusa perché le $z_k$ tali che $\cos(\frac{1}{z-1})=0$ sarebbero singolarità essenziali?
La funzione $\cos(\frac{1}{z-1})$ ha una sola singolarità essenziale ed è 1
La funzione $\cos(\frac{1}{z-1})$ ha una sola singolarità essenziale ed è 1
Grazie per aver risposto. Comunque, non credo sia corretto, perchè:
$cos(\frac{1}{z-1})=0$ \(\displaystyle \rightarrow \) $\frac{1}{z-1}=arccos(0)$ \(\displaystyle \rightarrow \) $\frac{1}{z-1}=\frac{\pi}{2}+2k\pi$ \(\displaystyle \rightarrow \) $z_{k}=\frac{2}{pi+4k\pi}+1$
Cosa ne pensi?
EDIT: Guarda il grafico di wolfram, credo possa essere utile: clicca qui
$cos(\frac{1}{z-1})=0$ \(\displaystyle \rightarrow \) $\frac{1}{z-1}=arccos(0)$ \(\displaystyle \rightarrow \) $\frac{1}{z-1}=\frac{\pi}{2}+2k\pi$ \(\displaystyle \rightarrow \) $z_{k}=\frac{2}{pi+4k\pi}+1$
Cosa ne pensi?
EDIT: Guarda il grafico di wolfram, credo possa essere utile: clicca qui
Si ok quelle sono le radici ma ricorda che $\cos(\frac{1}{z-1})$ sta al numeratore e quindi dove si annulla in questo caso a noi non ci interessa, o sbaglio?
Allora, facciamo un po' di chiarezza (ovviamente per quel che sono le mie conoscenze):
quando dici "non ci interessa", non è proprio corretto e ti dimostro subito il perchè.
Consideriamo, per facilità, un integrale di questo tipo $\int_{-\infty}^{\infty} f(z)dz$:
tutti gli zeri del numeratore NON in comune col denominatore, non "ci interessano";
tutti gli zeri del numeratore IN COMUNE col denominatore, "ci interessano" perchè in base alla molteplicità algebrica dello stesso (sia al numeratore che al denominatore) possiamo stabilire l'ordine del polo: ad esempio, se ho un polo del secondo ordine al denominatore, per $z=0$, e un polo semplice al numeratore (sempre per $z=0$) ciò implica che $z=0$ sia un polo semplice (differenza tra le due molteplicità).
Consideriamo ora questo integrale: $\oint_{|z|<1} e^\frac{1}{z}dz$
Abbiamo: $z=0$ singolarità essenziale la quale cade perfettamente nel cerchio unitario considerato. Dunque, abbiamo bisogno del residuo in $z=0$, proprio perchè dobbiamo considerare l'unica singolarità all'interno del dominio (altrimenti l'integrale verrà zero, risultato non corretto). Banalmente, sviluppando con Laurent la funzione, l'integrale vale:
$I=2\pi j$ perchè $Res(f,0)=c_{-1}=1$ ovvero è il coefficiente del termine $z^{-1}$ dello sviluppo.
Nel nostro caso, allora, essendo $z_{k}$ al numeratore, ci sono due possibilità:
1) nessuno zero in comune col denominatore, allora $z_{k}$ saranno essenziali e vanno tenute in conto nel calcolo dell'integrale.
2) zeri in comune col denominatore, allora per ogni $z_{k}$ va controllata la molteplicità algebrica.
Spero di essere stato chiaro e non troppo prolisso
quando dici "non ci interessa", non è proprio corretto e ti dimostro subito il perchè.
Consideriamo, per facilità, un integrale di questo tipo $\int_{-\infty}^{\infty} f(z)dz$:
tutti gli zeri del numeratore NON in comune col denominatore, non "ci interessano";
tutti gli zeri del numeratore IN COMUNE col denominatore, "ci interessano" perchè in base alla molteplicità algebrica dello stesso (sia al numeratore che al denominatore) possiamo stabilire l'ordine del polo: ad esempio, se ho un polo del secondo ordine al denominatore, per $z=0$, e un polo semplice al numeratore (sempre per $z=0$) ciò implica che $z=0$ sia un polo semplice (differenza tra le due molteplicità).
Consideriamo ora questo integrale: $\oint_{|z|<1} e^\frac{1}{z}dz$
Abbiamo: $z=0$ singolarità essenziale la quale cade perfettamente nel cerchio unitario considerato. Dunque, abbiamo bisogno del residuo in $z=0$, proprio perchè dobbiamo considerare l'unica singolarità all'interno del dominio (altrimenti l'integrale verrà zero, risultato non corretto). Banalmente, sviluppando con Laurent la funzione, l'integrale vale:
$I=2\pi j$ perchè $Res(f,0)=c_{-1}=1$ ovvero è il coefficiente del termine $z^{-1}$ dello sviluppo.
Nel nostro caso, allora, essendo $z_{k}$ al numeratore, ci sono due possibilità:
1) nessuno zero in comune col denominatore, allora $z_{k}$ saranno essenziali e vanno tenute in conto nel calcolo dell'integrale.
2) zeri in comune col denominatore, allora per ogni $z_{k}$ va controllata la molteplicità algebrica.
Spero di essere stato chiaro e non troppo prolisso
Guarda il corso di analisi complessa non l'ho ancora fatto
quindi aspettiamo entrambi pareri di più esperti, tuttavia posso dirti che al denominatore non si trova nessuna funzione che si annulla in almeno una delle $z_k$ , inoltre queste non sono singolarità essenziali ma l'unica s.e. è $z=1$ per il semplice motivo che $|\cos(\frac{1}{z-1})|$ non ha limite per $z \rightarrow 1$ invece per $z \rightarrow z_k$ il limite esiste e fa zero.
quindi aspettiamo entrambi pareri di più esperti, tuttavia posso dirti che al denominatore non si trova nessuna funzione che si annulla in almeno una delle $z_k$ , inoltre queste non sono singolarità essenziali ma l'unica s.e. è $z=1$ per il semplice motivo che $|\cos(\frac{1}{z-1})|$ non ha limite per $z \rightarrow 1$ invece per $z \rightarrow z_k$ il limite esiste e fa zero.
dan95 ha senz'altro ragione.
Mhh, quindi visto che il limite esiste e fa zero, $z_{k}$ sono tutte s. eliminabili, giusto?
Allora, l'integrale sarà:
$I=2\pi j [Res(0)+Res(1)+Res(\frac{1}{2})+Res(\frac{j}{sqrt(2)})+Res(-\frac{j}{sqrt(2)})]$
Grazie ragazzi per il vostro tempo
P.S Domanda flash: in generale, non è vero che $Res(f,\overline{z_{0}})=\overline{Res}(f,z_{0})$ (a parole: il residuo del coniugato è uguale al coniugato del residuo del non coniugato), giusto?
Allora, l'integrale sarà:
$I=2\pi j [Res(0)+Res(1)+Res(\frac{1}{2})+Res(\frac{j}{sqrt(2)})+Res(-\frac{j}{sqrt(2)})]$
Grazie ragazzi per il vostro tempo
P.S Domanda flash: in generale, non è vero che $Res(f,\overline{z_{0}})=\overline{Res}(f,z_{0})$ (a parole: il residuo del coniugato è uguale al coniugato del residuo del non coniugato), giusto?
"Nico769":
...visto che il limite esiste e fa zero, $z_{k}$ sono tutte s. eliminabili...
Non sono affatto singolarità. Non si comprende per quale motivo una funzione che vale zero per un certo valore di $z$ dovrebbe avere una singolarità in $z$. Zero è un valore come un altro, ai fini della presente discussione ovviamente.
"Nico769":
...in generale, non è vero che $Res(f,\overline{z_{0}})=\overline{Res}(f,z_{0})...$
Veramente, vale molto più spesso di quanto si possa credere.
Quindi, vale anche nel tuo caso concreto.
In \(0\) ed in \(1\) ci sono le uniche singolarità essenziali della funzione integranda, le quali provengono da singolarità essenziali, rispettivamente, delle funzioni \(e^{1/z}\) e \(\cos (1/(z-1))\) (che si tratti di singolarità di questo tipo si vede subito, sviluppando in serie di Laurent).
Chi vuole levarsi dai piedi tali singolarità, può provare a calcolare l'integrale dall'esterno di \(D\), tenendo presente il terzo teorema dei residui (ed ovviamente senza dimenticarsi di controllare il residuo in \(\infty\)).
Chi vuole levarsi dai piedi tali singolarità, può provare a calcolare l'integrale dall'esterno di \(D\), tenendo presente il terzo teorema dei residui (ed ovviamente senza dimenticarsi di controllare il residuo in \(\infty\)).
"gordnbrn":
Non sono affatto singolarità. Non si comprende per quale motivo una funzione che vale zero per un certo valore di $z$ dovrebbe avere una singolarità in $z$. Zero è un valore come un altro, ai fini della presente discussione ovviamente.
Capisco...
"gordnbrn":
...Quindi, vale anche nel tuo caso concreto...
Capisco, immaginavo c'entrasse la definizione di funzione hermitiana. Purtroppo non sono riuscito a dimostrarlo (ecco perchè l'ho chiesto) proprio perchè, per quanto possa sembrare stupido, mi è difficile verificare l'hermitianietà della suddetta funzione tramite la definizione da te citata. Saresti cosi gentile da darmi un input?
"gugo82":
..tenendo presente il terzo teorema dei residui (ed ovviamente senza dimenticarsi di controllare il residuo in \(\infty\))...
Esatto, avevo pensato di procedere cosi (una volta calcolati i residui in $\frac{1}{2}$ , $\frac{j}{sqrt(2)}$ , $\infty$):
$Res(0)+Res(1)=-[Res(\frac{1}{2})+2Res(\frac{j}{sqrt(2)})+Res(\infty)]$
Ma più semplicemente:
\[
\int_{+\partial D} f(z)\ \text{d} z = - 2\pi\ \imath\!\!\!\!\!\! \sum_{\zeta \text{ singolare esterno a } D}\!\!\!\!\!\! \operatorname{Res} \left( f;\zeta \right)
\]
per il suddetto teorema; e, visto che le uniche singolarità esterne a \(D\) mi sembrano \(3\) e \(\infty\), il calcolo dovrebbe risultare agevole.
\[
\int_{+\partial D} f(z)\ \text{d} z = - 2\pi\ \imath\!\!\!\!\!\! \sum_{\zeta \text{ singolare esterno a } D}\!\!\!\!\!\! \operatorname{Res} \left( f;\zeta \right)
\]
per il suddetto teorema; e, visto che le uniche singolarità esterne a \(D\) mi sembrano \(3\) e \(\infty\), il calcolo dovrebbe risultare agevole.
Hai ragione gugo, mi era sfuggito... Dunque, se ho fatto bene i conti:
$I=-\frac{54}{95}\pi$ $j$ $e^(\frac{1}{3})cos(\frac{1}{2})$
perchè: $Res(3)=\frac{27}{95}$ $e^(\frac{1}{3})cos(\frac{1}{2})$ , $Res(\infty)=0$
visto che $\frac{1}{z}=0$ è eliminabile per $(-\frac{1}{z^{2}})f(\frac{1}{z})$
$I=-\frac{54}{95}\pi$ $j$ $e^(\frac{1}{3})cos(\frac{1}{2})$
perchè: $Res(3)=\frac{27}{95}$ $e^(\frac{1}{3})cos(\frac{1}{2})$ , $Res(\infty)=0$
visto che $\frac{1}{z}=0$ è eliminabile per $(-\frac{1}{z^{2}})f(\frac{1}{z})$
Occhio, che il residuo in \(\infty\) può non essere zero nonostante la singolarità sia eliminabile... Controlla meglio. 
Cambio di variabile: $\frac{1}{z}=w$
$(-\frac{1}{z^{2}})f(\frac{1}{z})=(-w^2)f(w)=g(w)=-\frac{e^w cos(\frac{w}{1-w})}{w(2w^{-2}+1)(2w^{-2}-7w^{-1}+3)}$
Sviluppando tutti i prodotti al denominatore: $-\frac{e^w cos(\frac{w}{1-w})}{3w-7+8w^{-1}-14w^{-2}+4w^{-3}}$
Ed infine, facendo il mcm al denom, ottengo: $-\frac{w^3 e^w cos(\frac{w}{1-w})}{3w^4 -7w^3 +8w^{2}-14w+4}$
Allora, si vede facilmente che $w=0$ è eliminabile perchè: -$\lim_{w->0}\frac{w^3 e^w cos(\frac{w}{1-w})}{3w^4 -7w^3 +8w^{2}-14w+4}=\frac{0}{4}=0$
E quindi, $Res(g(w),0)=0$, perchè lo sviluppo di Laurent è privo della sua "parte principale" (insomma, coincide con quello di Taylor). Spero di non aver commesso errori e grazie ancora per l'aiuto
$(-\frac{1}{z^{2}})f(\frac{1}{z})=(-w^2)f(w)=g(w)=-\frac{e^w cos(\frac{w}{1-w})}{w(2w^{-2}+1)(2w^{-2}-7w^{-1}+3)}$
Sviluppando tutti i prodotti al denominatore: $-\frac{e^w cos(\frac{w}{1-w})}{3w-7+8w^{-1}-14w^{-2}+4w^{-3}}$
Ed infine, facendo il mcm al denom, ottengo: $-\frac{w^3 e^w cos(\frac{w}{1-w})}{3w^4 -7w^3 +8w^{2}-14w+4}$
Allora, si vede facilmente che $w=0$ è eliminabile perchè: -$\lim_{w->0}\frac{w^3 e^w cos(\frac{w}{1-w})}{3w^4 -7w^3 +8w^{2}-14w+4}=\frac{0}{4}=0$
E quindi, $Res(g(w),0)=0$, perchè lo sviluppo di Laurent è privo della sua "parte principale" (insomma, coincide con quello di Taylor). Spero di non aver commesso errori e grazie ancora per l'aiuto
"Nico769":
si vede facilmente che $w=0$ è eliminabile perchè: -$\lim_{w->0}\frac{w^3 e^w cos(\frac{w}{1-w})}{3w^4 -7w^3 +8w^{2}-14w+4}=\frac{0}{4}=0$
E quindi, $Res(g(w),0)=0$, perchè lo sviluppo di Laurent è privo della sua "parte principale" (insomma, coincide con quello di Taylor).
Quel "quindi" è fuori posto...
Infatti, ad esempio, la funzione \(f(z) = \frac{1}{z}\) ha in \(\infty\) un punto di regolarità, perché \(\displaystyle \lim_{z\to \infty} \frac{1}{z} = 0\), e però essa ha residuo non nullo in \(\infty\), poiché la funzione ausiliaria:
\[
\phi (w) = -\frac{1}{w^2}\ f\left( \frac{1}{w}\right) = -\frac{1}{w}
\]
ha un polo in \(w=0\) del primo ordine.
Quindi, come ho detto sopra, il fatto che in \(\infty\) ci sia un punto di regolarità non implica automaticamente che il residuo in \(\infty\) sia nullo.[nota]Cosa che, al contrario, accade sempre per punti al finito.[/nota]
Pertanto, in generale, serve sempre una verifica diretta per stabilire se il residuo in \(\infty\) è nullo oppure no.
Nel tuo caso che succede?
Ti ringrazio molto per l'esempio gugo. Avevo letto cosa avevi scritto sopra, ma, a causa dei miei appunti probabilemente errati, non avevo capito a pieno ciò che intendevi. Dunque, tornando a noi..
Credo che $z_{0}=\infty$ sia un polo del primo ordine per $f(z)$, perchè: $\lim_{z->z_{0}}\frac{z^{3}e^{\frac{1}{z}}cos(\frac{1}{z-1})}{(2z^2+1)(2z^2-7z+3)}(z-z_{0})=\lim_{z->z_{0}}\frac{z^3 *(1)}{4z^4*(roba\ che\ tende\ a\ zero\)}(z-z_{0})=\frac{z^4-z_{0}z^3}{4z^4(..)} \approx \frac{1}{4}\ne0$
Ammesso che tutto ciò sia corretto, sono un attimo confuso.. Visto che $Res(f,\infty) \ne Res(g,0)$, per avere il risultato corretto dell'integrale del mio primo post, devo utilizzare $Res(f,\infty)=\frac{1}{4}$?
Chiedo scusa per i miei dubbi alquanto sciocchi, ma sono alle prime armi con questo tipo di analisi complessa
P.S Cosa intendi, più precisamente, quando scrivi "punti al finito"? Intendi che se costruissi la "funzione ausiliaria" $g(w)$ di un una $f(z)$ con un, ad esempio, polo del primo ordine per $z=k$ con $k$ costante, avrei che $Res(g,0)=0$?
Credo che $z_{0}=\infty$ sia un polo del primo ordine per $f(z)$, perchè: $\lim_{z->z_{0}}\frac{z^{3}e^{\frac{1}{z}}cos(\frac{1}{z-1})}{(2z^2+1)(2z^2-7z+3)}(z-z_{0})=\lim_{z->z_{0}}\frac{z^3 *(1)}{4z^4*(roba\ che\ tende\ a\ zero\)}(z-z_{0})=\frac{z^4-z_{0}z^3}{4z^4(..)} \approx \frac{1}{4}\ne0$
Ammesso che tutto ciò sia corretto, sono un attimo confuso.. Visto che $Res(f,\infty) \ne Res(g,0)$, per avere il risultato corretto dell'integrale del mio primo post, devo utilizzare $Res(f,\infty)=\frac{1}{4}$?
Chiedo scusa per i miei dubbi alquanto sciocchi, ma sono alle prime armi con questo tipo di analisi complessa
P.S Cosa intendi, più precisamente, quando scrivi "punti al finito"? Intendi che se costruissi la "funzione ausiliaria" $g(w)$ di un una $f(z)$ con un, ad esempio, polo del primo ordine per $z=k$ con $k$ costante, avrei che $Res(g,0)=0$?
up
Innanzitutto, con la locuzione "punto al finito" s'intende un qualsiasi punto \(z\in \mathbb{C}\) (che sulla sfera di Riemann è un punto distinto dal polo nord), mentre con la locuzione "punto all'infinito" si denota sempre l'infinito complesso \(\infty\) (che sulla sfera di Riemann è rappresentato dal polo nord) e che serve a "compattificare" \(\mathbb{C}\).
Poi, ricorda che il residuo in \(\infty\) di una funzione \(f\) olomorfa intorno a \(\infty\) coincide per definizione col residuo in \(0\) della funzione ausiliaria \(\phi (w) = -\frac{1}{w^2} f(\frac{1}{w})\), cioè:
\[
\operatorname{Res} (f;\infty) = \operatorname{Res} (\phi ;0)\; .
\]
D'altra parte, se vuoi calcolare il residuo in un punto al finito, la funzione ausiliaria non ti serve a nulla.
Nel tuo caso è:
\[
\begin{split}
\phi (w) &= -\frac{1}{w^2}\ \frac{\frac{1}{w^3} e^w \cos \frac{1}{\frac{1}{w} -1}}{(\frac{2}{w^2} + 1)(\frac{2}{w^2} - \frac{7}{w} + 3)}\\
&= -\frac{1}{w^2}\ \frac{\frac{1}{w^3} e^w \cos \frac{w}{1-w}}{\frac{(w^2 +2) (3w^2-7w+2)}{w^4}}\\
&= - \frac{1}{w}\ \frac{e^w \cos \frac{w}{1-w}}{(w^2+2)(3w^2-7w+2)}
\end{split}
\]
e si vede che \(\phi\) ha in \(0\) un polo del primo ordine con residuo:
\[
\operatorname{Res} (\phi ;0) = \lim_{w\to 0} - \frac{1}{\cancel{w}}\ \frac{e^w \cos \frac{w}{1-w}}{(w^2+2)(3w^2-7w+2)}\cdot \cancel{w} = - \frac{1}{4}\; ,
\]
cosicché:
\[
\operatorname{Res} (f;\infty) = -\frac{1}{4}\; .
\]
P.S.: Tanto per curiosità... Ingegnere di che tipo? Dove studi? Che libro stai seguendo?
Poi, ricorda che il residuo in \(\infty\) di una funzione \(f\) olomorfa intorno a \(\infty\) coincide per definizione col residuo in \(0\) della funzione ausiliaria \(\phi (w) = -\frac{1}{w^2} f(\frac{1}{w})\), cioè:
\[
\operatorname{Res} (f;\infty) = \operatorname{Res} (\phi ;0)\; .
\]
D'altra parte, se vuoi calcolare il residuo in un punto al finito, la funzione ausiliaria non ti serve a nulla.
Nel tuo caso è:
\[
\begin{split}
\phi (w) &= -\frac{1}{w^2}\ \frac{\frac{1}{w^3} e^w \cos \frac{1}{\frac{1}{w} -1}}{(\frac{2}{w^2} + 1)(\frac{2}{w^2} - \frac{7}{w} + 3)}\\
&= -\frac{1}{w^2}\ \frac{\frac{1}{w^3} e^w \cos \frac{w}{1-w}}{\frac{(w^2 +2) (3w^2-7w+2)}{w^4}}\\
&= - \frac{1}{w}\ \frac{e^w \cos \frac{w}{1-w}}{(w^2+2)(3w^2-7w+2)}
\end{split}
\]
e si vede che \(\phi\) ha in \(0\) un polo del primo ordine con residuo:
\[
\operatorname{Res} (\phi ;0) = \lim_{w\to 0} - \frac{1}{\cancel{w}}\ \frac{e^w \cos \frac{w}{1-w}}{(w^2+2)(3w^2-7w+2)}\cdot \cancel{w} = - \frac{1}{4}\; ,
\]
cosicché:
\[
\operatorname{Res} (f;\infty) = -\frac{1}{4}\; .
\]
P.S.: Tanto per curiosità... Ingegnere di che tipo? Dove studi? Che libro stai seguendo?
Grazie gugo, tutto chiaro .
.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo