Integrale successione di funzioni
devo calcolare quest'integrale
$int_(-oo)^(+oo) (u(t-n)+n/(pi(1+n^2t^2))) dt$ dove $u(t)$ è la funzione di heavside. a me risulta $+oo$
ecco i calcoli
$int_(-oo)^(+oo) u(t-n)dt+int_(-oo)^(+oo)n/(pi(1+n^2t^2)) dt=int_(n)^(+oo) dt+1=[t]_n^(+oo)+1=+oo-n+1$
sono giusti i calcoli?
$int_(-oo)^(+oo) (u(t-n)+n/(pi(1+n^2t^2))) dt$ dove $u(t)$ è la funzione di heavside. a me risulta $+oo$
ecco i calcoli
$int_(-oo)^(+oo) u(t-n)dt+int_(-oo)^(+oo)n/(pi(1+n^2t^2)) dt=int_(n)^(+oo) dt+1=[t]_n^(+oo)+1=+oo-n+1$
sono giusti i calcoli?
Risposte
Beh, direi di sì.
D'altra parte hai sotto integrale una funzione positiva e continua intorno a [tex]$+\infty$[/tex] che ha minimo limite [tex]$=1>0$[/tex], quindi non ci sono chance che quello lì sia un integrale convergente.
D'altra parte hai sotto integrale una funzione positiva e continua intorno a [tex]$+\infty$[/tex] che ha minimo limite [tex]$=1>0$[/tex], quindi non ci sono chance che quello lì sia un integrale convergente.
ma se è così allora la successione di funzioni data non converge nel senso delle distribuzioni al delta di dirac.l'esercizio era dimostrare ciò.
"gugo82":
Beh, direi di sì.
D'altra parte hai sotto integrale una funzione positiva e continua intorno a [tex]$+\infty$[/tex] che ha minimo limite [tex]$=1>0$[/tex], quindi non ci sono chance che quello lì sia un integrale convergente.
gugo ma qui volevi dire divergente giusto?
Volevo dire che nessuna di quelle funzioni ha integrale finito.
Ad ogni modo, se vuoi dimostrare che una successione di funzioni non [tex]$L^1$[/tex] converge alla [tex]$\delta$[/tex] non puoi usare quel criterio, proprio perchè le funzioni della tua successione non sono integrabili.
Secondo me devi usare la definizione di convergenza nel senso delle distribuzioni, i.e. fissa una funzione test [tex]$\phi \in \mathcal{D}$[/tex] e cerca di stabilire cosa succede a [tex]$\lim_n \langle f_n,\phi\rangle$[/tex] (qui con [tex]$\langle f_n,\phi \rangle$[/tex] denoto il valore assunto su [tex]$\phi$[/tex] dalla distribuzione [tex]$f_n$[/tex] associata alla [tex]$n$[/tex]-esima funzione [tex]$L_{loc}^1$[/tex] che ti hanno assegnato): se quel limite è [tex]$=\langle \delta ,\phi\rangle$[/tex] sei a posto, perchè scatta la definizione di convergenza nel senso delle distribuzioni.
Curiosità: sei ingegnere? Chi è il docente di Metodi?
Ad ogni modo, se vuoi dimostrare che una successione di funzioni non [tex]$L^1$[/tex] converge alla [tex]$\delta$[/tex] non puoi usare quel criterio, proprio perchè le funzioni della tua successione non sono integrabili.
Secondo me devi usare la definizione di convergenza nel senso delle distribuzioni, i.e. fissa una funzione test [tex]$\phi \in \mathcal{D}$[/tex] e cerca di stabilire cosa succede a [tex]$\lim_n \langle f_n,\phi\rangle$[/tex] (qui con [tex]$\langle f_n,\phi \rangle$[/tex] denoto il valore assunto su [tex]$\phi$[/tex] dalla distribuzione [tex]$f_n$[/tex] associata alla [tex]$n$[/tex]-esima funzione [tex]$L_{loc}^1$[/tex] che ti hanno assegnato): se quel limite è [tex]$=\langle \delta ,\phi\rangle$[/tex] sei a posto, perchè scatta la definizione di convergenza nel senso delle distribuzioni.
Curiosità: sei ingegnere? Chi è il docente di Metodi?
"gugo82":
Volevo dire che nessuna di quelle funzioni ha integrale finito.
Ad ogni modo, se vuoi dimostrare che una successione di funzioni non [tex]$L^1$[/tex] converge alla [tex]$\delta$[/tex] non puoi usare quel criterio, proprio perchè le funzioni della tua successione non sono integrabili.
Secondo me devi usare la definizione di convergenza nel senso delle distribuzioni, i.e. fissa una funzione test [tex]$\phi \in \mathcal{D}$[/tex] e cerca di stabilire cosa succede a [tex]$\lim_n \langle f_n,\phi\rangle$[/tex] (qui con [tex]$\langle f_n,\phi \rangle$[/tex] denoto il valore assunto su [tex]$\phi$[/tex] dalla distribuzione [tex]$f_n$[/tex] associata alla [tex]$n$[/tex]-esima funzione [tex]$L_{loc}^1$[/tex] che ti hanno assegnato): se quel limite è [tex]$=\langle \delta ,\phi\rangle$[/tex] sei a posto.
Curiosità: chi è il docente di Metodi?
già vero.le funzioni non essendo sommabili non posso applicare il metodo di calcolo per le distribuzioni funzioni.già!!!che stupido!!!da me questa materia prende il nome di Analisi Matematica 3.il docente è Pietro Zamboni.un bravissimo docente,preparato e molto in gamba che insegna da anni nei corsi di ingegneria analisi matematica 3
@mazzy89: Era solo una curiosità, mica dubitavo dei tuoi insegnanti. 
"gugo82":
@mazzy89: Era solo una curiosità, mica dubitavo dei tuoi insegnanti.
si si ho capito esattamente che era una curiosità.ci mancherebbe gugo.io non ho capito assolutamente che tu dubitassi dei miei insegnanti.in questo caso devi dubitare su di me!
"gugo82":
Volevo dire che nessuna di quelle funzioni ha integrale finito.
Ad ogni modo, se vuoi dimostrare che una successione di funzioni non [tex]$L^1$[/tex] converge alla [tex]$\delta$[/tex] non puoi usare quel criterio, proprio perchè le funzioni della tua successione non sono integrabili.
Secondo me devi usare la definizione di convergenza nel senso delle distribuzioni, i.e. fissa una funzione test [tex]$\phi \in \mathcal{D}$[/tex] e cerca di stabilire cosa succede a [tex]$\lim_n \langle f_n,\phi\rangle$[/tex] (qui con [tex]$\langle f_n,\phi \rangle$[/tex] denoto il valore assunto su [tex]$\phi$[/tex] dalla distribuzione [tex]$f_n$[/tex] associata alla [tex]$n$[/tex]-esima funzione [tex]$L_{loc}^1$[/tex] che ti hanno assegnato): se quel limite è [tex]$=\langle \delta ,\phi\rangle$[/tex] sei a posto, perchè scatta la definizione di convergenza nel senso delle distribuzioni.
Curiosità: sei ingegnere? Chi è il docente di Metodi?
ho provato ad applicare la definizione ma ho fallito miseramente!!!cavolo!!!
$
per la linearità si ha:
$
calcolando i limiti si ha
$
$
per calcolare quest'ultimo limite verifico le condizioni di lebesgue in modo da poter passare dentro il segno di integrale il limite.alla fine però ottengo anche qui $<0,phi>$
dove sbaglio?
Ma
Una volta tanto che hai delle distribuzioni provenienti da funzioni [tex]$L^1$[/tex] cui si può applicare il criterio di convergenza alla [tex]$\delta$[/tex], perchè non lo applichi?
Una volta tanto che hai delle distribuzioni provenienti da funzioni [tex]$L^1$[/tex] cui si può applicare il criterio di convergenza alla [tex]$\delta$[/tex], perchè non lo applichi?
"gugo82":
Ma
Una volta tanto che hai delle distribuzioni provenienti da funzioni [tex]$L^1$[/tex] cui si può applicare il criterio di convergenza alla [tex]$\delta$[/tex], perchè non lo applichi?
ah già devo dimostrare quindi che $lim_(nto+oo) int_(-oo)^(+oo) n/(pi(1+n^2t^2))phi(t)dt=phi(0)$
Già.
Ma questo è facile, perchè la successione formata dalle funzioni [tex]\frac{n}{\pi (1+n^2t^2)}[/tex] è in [tex]$L^1$[/tex], converge puntualmente a zero in [tex]$\mathbb{R} \setminus \{ 0\}$[/tex] divergendo positivamente in [tex]$1$[/tex], e tutti gli elementi della successione hanno integrale unitario.
Sbaglio o è soddisfatto il criterio di convergenza alla [tex]$\delta$[/tex]?
Ma questo è facile, perchè la successione formata dalle funzioni [tex]\frac{n}{\pi (1+n^2t^2)}[/tex] è in [tex]$L^1$[/tex], converge puntualmente a zero in [tex]$\mathbb{R} \setminus \{ 0\}$[/tex] divergendo positivamente in [tex]$1$[/tex], e tutti gli elementi della successione hanno integrale unitario.
Sbaglio o è soddisfatto il criterio di convergenza alla [tex]$\delta$[/tex]?
"gugo82":
Già.
Ma questo è facile, perchè la successione formata dalle funzioni [tex]\frac{n}{\pi (1+n^2t^2)}[/tex] è in [tex]$L^1$[/tex], converge puntualmente a zero in [tex]$\mathbb{R} \setminus \{ 0\}$[/tex] divergendo positivamente in [tex]$1$[/tex], e tutti gli elementi della successione hanno integrale unitario.
Sbaglio o è soddisfatto il criterio di convergenza alla [tex]$\delta$[/tex]?
no no non sbagli.tutto giusto.esatto.ma quindi ricapitolando alla fine siamo partiti da una successione di funzioni non localmente sommabili per poi considerarli separatamente e vedere che sono sommabili prese singolarmente.figo tutto quest'esercizio!!!grande gugo!!!
La morale dell'esercizio è questa.
Non tutte le successioni che approssimano la [tex]$\delta$[/tex] nel senso delle distribuzioni sono tenute a soddisfare il criterio di convergenza, perchè alcune distribuzioni (seppure regolari, ossia rappresentabili come funzioni di [tex]$L_{loc}^1$[/tex]) non provengono da funzioni [tex]$L^1$[/tex].
Un modo pre provare questo fatto è prendere una successione [tex]$(f_n)$[/tex] in [tex]$L^1$[/tex] che approssima [tex]$\delta$[/tex] in [tex]$\mathcal{D}^\prime$[/tex], prendere una successione [tex]$(g_n)$[/tex] non [tex]$L^1$[/tex] (ma solo [tex]$L_{loc}^1$[/tex]) che approssima la distribuzione nulla e considerare la successione di distribuzioni regolari di termine generale [tex]$h_n=f_n+g_n$[/tex]: evidentemente [tex]$h_n$[/tex] non può essere in [tex]$L^1$[/tex], però nel senso delle distribuzioni si ha ugualmente [tex]$h_n\to \delta$[/tex].
Nel tuo caso soo state usate [tex]f_n(t)=\frac{n}{\pi(1+n^2t^2)}[/tex] e [tex]$g_n(t)=u(t-n)$[/tex].
Non tutte le successioni che approssimano la [tex]$\delta$[/tex] nel senso delle distribuzioni sono tenute a soddisfare il criterio di convergenza, perchè alcune distribuzioni (seppure regolari, ossia rappresentabili come funzioni di [tex]$L_{loc}^1$[/tex]) non provengono da funzioni [tex]$L^1$[/tex].
Un modo pre provare questo fatto è prendere una successione [tex]$(f_n)$[/tex] in [tex]$L^1$[/tex] che approssima [tex]$\delta$[/tex] in [tex]$\mathcal{D}^\prime$[/tex], prendere una successione [tex]$(g_n)$[/tex] non [tex]$L^1$[/tex] (ma solo [tex]$L_{loc}^1$[/tex]) che approssima la distribuzione nulla e considerare la successione di distribuzioni regolari di termine generale [tex]$h_n=f_n+g_n$[/tex]: evidentemente [tex]$h_n$[/tex] non può essere in [tex]$L^1$[/tex], però nel senso delle distribuzioni si ha ugualmente [tex]$h_n\to \delta$[/tex].
Nel tuo caso soo state usate [tex]f_n(t)=\frac{n}{\pi(1+n^2t^2)}[/tex] e [tex]$g_n(t)=u(t-n)$[/tex].
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