Integrale successione di funzioni
Ciao, devo dimostrare che $ lim_(n -> \infty) int_(0)^(pi) sin^n(x) dx = 0 $. La prima idea che mi era venuta in mente era quella di dimostrare che $ f_n(x)=sin^n(x) $ convergesse uniformemente in $ [0, pi] $ per applicare il passaggio al limite sotto il segno di integrale. Mi sono accorto che in questo intervallo essa converge a $ f(x)={ ( 1 rarr x=pi/2),( 0 rarr x\in [0,pi] - {pi/2}):} $.
Dunque non può esserci convergenza uniforme in $ [0, pi] $. Potreste darmi un suggerimento per arrivare alla soluzione? Grazie!
Dunque non può esserci convergenza uniforme in $ [0, pi] $. Potreste darmi un suggerimento per arrivare alla soluzione? Grazie!
Risposte
Suggerimento valido solo per l'idea, sbagliati però i valori presi
Ciao, grazie per la risposta! Però non ho capito una cosa: in $ [0, pi-epsilon] $ non ho convergenza uniforme, quindi come potrei mettere in atto il teorema? Visto che il punto che mi fa perdere la convergenza è $ x=pi/2 $, mi verrebbe spontaneo di considerare qualcosa del tipo:
$ int_(0)^(pi) sin^n(x) dx = int_(0)^(pi/2-epsilon) sin^n(x) dx + int_(pi/2-epsilon)^(pi/2+epsilon) sin^n(x) dx + int_(pi/2+epsilon)^(pi) sin^n(x) dx $
e poi dire che per il primo e il terzo integrale del membro a destra posso applicare il passaggio al limite sotto il segno di integrale e mi dà $ 0 $ come risultato. Per il secondo integrale, scelto $ epsilon $ piccolo a piacere, non potrei dire che anch'esso vale 0?
$ int_(0)^(pi) sin^n(x) dx = int_(0)^(pi/2-epsilon) sin^n(x) dx + int_(pi/2-epsilon)^(pi/2+epsilon) sin^n(x) dx + int_(pi/2+epsilon)^(pi) sin^n(x) dx $
e poi dire che per il primo e il terzo integrale del membro a destra posso applicare il passaggio al limite sotto il segno di integrale e mi dà $ 0 $ come risultato. Per il secondo integrale, scelto $ epsilon $ piccolo a piacere, non potrei dire che anch'esso vale 0?
L'integrale di mezzo lo puoi maggiorare con $2\epsilon=\int_{\pi/2-\epsilon}^{\pi/2+\epsilon}dx$...
Si si scusami il punto critico era chiaramente $\pi /2$....
Poi fai come hai fatto te e sfrutti la maggiorazione di dan95 per concludere.
Poi fai come hai fatto te e sfrutti la maggiorazione di dan95 per concludere.
Quindi, vediamo se ho capito:
$ lim_(n -> \infty)int_(0)^(pi) sin^n(x) dx = lim_(n -> \infty)int_(pi/2-epsilon)^(pi/2+epsilon) sin^n(x) dx $. Dato che per $ n->\infty $, l'area sottesa sarà $ 2epsilon*1=2epsilon $, posso maggiorare il secondo membro con $ 2epsilon $. Qui ho finito (?). Grazie per l'aiuto e la conferma!
$ lim_(n -> \infty)int_(0)^(pi) sin^n(x) dx = lim_(n -> \infty)int_(pi/2-epsilon)^(pi/2+epsilon) sin^n(x) dx $. Dato che per $ n->\infty $, l'area sottesa sarà $ 2epsilon*1=2epsilon $, posso maggiorare il secondo membro con $ 2epsilon $. Qui ho finito (?). Grazie per l'aiuto e la conferma!
Certo per l'arbitrarietà di $\epsilon$...
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