Integrale su un triangolo
Sia T l'insieme dei punti del piano costituito dai punti interni o sul bordo del triangolo i cui vertici sono i punti (-1,0), (1,0), (3,1). Calcolare $ int_T x^2+y^2 dxdy$
Il risultato mi torna 11/6, mentre nel libro dovrebbe fare 13/2...
qualche anima pia potrebbe controllare? (i conti sono abbastanza facili, direi quasi banali)
Il risultato mi torna 11/6, mentre nel libro dovrebbe fare 13/2...
qualche anima pia potrebbe controllare? (i conti sono abbastanza facili, direi quasi banali)
Risposte
Confermo il tuo risultato: $11/6$.
Io ho diviso l'integrale nel modo seguente:
$int_ T x^2+y^2dxdy = int_ -1^1 (int_ 0^((x+1)/4) x^2+y^2 dy)dx + int_ 1^3 (int_ ((x-1)/2)^((x+1)/4) x^2+y^2 dy)dx$
Ciao
Io ho diviso l'integrale nel modo seguente:
$int_ T x^2+y^2dxdy = int_ -1^1 (int_ 0^((x+1)/4) x^2+y^2 dy)dx + int_ 1^3 (int_ ((x-1)/2)^((x+1)/4) x^2+y^2 dy)dx$
Ciao
Grazie mille MikeB
Cmq, se vuoi fare prima, ti conviene scrivere T (il triangolo di vertici noti) come insieme normale rispetto all'asse Y.
Cmq, se vuoi fare prima, ti conviene scrivere T (il triangolo di vertici noti) come insieme normale rispetto all'asse Y.
Puoi postarmi la tua soluzione?in effetti l'ho fatto in 5 minuti e sono un po' arrugginito sugli integrali doppi:)
"Mondo":
Sia T l'insieme dei punti del piano costituito dai punti interni o sul bordo del triangolo i cui vertici sono i punti (-1,0), (1,0), (3,1). Calcolare $ int_T x^2+y^2 dxdy$
Il risultato mi torna 11/6, mentre nel libro dovrebbe fare 13/2...
qualche anima pia potrebbe controllare? (i conti sono abbastanza facili, direi quasi banali)
Il problema ha a che fare con i momenti d'inerzia.
L'integrale è il momento d'inerzia rispetto alla retta perpendicolare al piano $xy$ e passante per l'origine delle coordinate.
"MikeB":
Puoi postarmi la tua soluzione?in effetti l'ho fatto in 5 minuti e sono un po' arrugginito sugli integrali doppi:)
$T={(x,y)$ di $R^2$ : $ 0<=y<=1 , 4y-1<=x<=2y-1}$ e questo è l'insieme...
Il primo passaggio è quindi
$ int_(0)^(1)dy int_(4y-1)^(2y+1) (x^2+y^2)dx$
di qui sono conti... primitiva rispetto alla variabile x, sostituisci gli estremi, primitiva rispetto ad y, sostituisci 0 e 1, fine.
"Mondo":
$ int_(0)^(1)dy int_(4y-1)^(2y+1) (x^2+y^2)dx$
Scusa l'ignoranza, ma perchè il $dy$ lo fai variare tra 0 e 1 invece che tra -1 e 1?
grazie
"ELWOOD":
Scusa l'ignoranza, ma perchè il $dy$ lo fai variare tra 0 e 1 invece che tra -1 e 1?
grazie
se disegni il triangolo T nel piano cartesiano osservi che effettivamente la y varia tra 0 e 1
"Mondo":
[quote="ELWOOD"]
Scusa l'ignoranza, ma perchè il $dy$ lo fai variare tra 0 e 1 invece che tra -1 e 1?
grazie
se disegni il triangolo T nel piano cartesiano osservi che effettivamente la y varia tra 0 e 1[/quote]
che scemo
un altra domanda....se il dominio fosse stato un triangolo qualsiasi (quindi con la base non parallela all'asse delle ascisse) come mi dovrei comportare?
[/quote] se il dominio fosse stato un triangolo qualsiasi (quindi con la base non parallela all'asse delle ascisse) come mi dovrei comportare?[/quote]
Beh, il procedimento è sempre il solito: ti riduci a insiemi normali rispetto all'asse x o y... Se la base del triangolo non è parallela all'asse x, probabilmente un insieme solo non ti basterà. Dovrai dividere l'integrale in più pezzi, ognuno dei quali svolgerai separatemente...
Beh, il procedimento è sempre il solito: ti riduci a insiemi normali rispetto all'asse x o y... Se la base del triangolo non è parallela all'asse x, probabilmente un insieme solo non ti basterà. Dovrai dividere l'integrale in più pezzi, ognuno dei quali svolgerai separatemente...
Ad esempio lo stesso integrale sul triangolo di vertici A(-5,-2) B(4,6) C(10,1)
come posso trovare una retta xhe mi determini un dominio x-semplice?
come posso trovare una retta xhe mi determini un dominio x-semplice?
"ELWOOD":
Ad esempio lo stesso integrale sul triangolo di vertici A(-5,-2) B(4,6) C(10,1)
come posso trovare una retta xhe mi determini un dominio x-semplice?
se i punti sono scelti a caso, mi sa proprio che non c'è... ti tocca fare conti, conti e ancora conti
a ecco....mi sembrava un pò impossibile....grazie per la pazienza 
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