Integrale su un dominio un po' particolare
Salve, su un libro ho trovato questo problema:
Se E è il solido, contenuto nel semispazio $z>=0$, delimitato dal cilindro di equazione $x^2+y^2=x$ e dal cono di equazione $x^2+y^2=z^2$, per calcolare l'integrale su E di $(x^2+y^2)^(1/2)$ passiamo a coordinate cilindriche. In tali coordinate il cono ha equazione $\rho=¦z¦$. Il solido E è allora l'immagine, tramite la trasformazione in coordinate cilindriche, della regione ${(\rho, \alpha, z): 0<=\rho<=cos \alpha, -\pi/2<= \alpha <= \pi/2, 0 <= z <= \rho}$
Prima di tutto l'equazione $x^2+y^2=x$ non mi sembra quella di un cilindro!?!?!
Secondo, qualcuno di voi mi sa spiegare in modo comprensibile come fa ad ottenere quella regione, che dovrebbe essere quella del volume fra il cono e il cilindro???
Grazie infinite!
Se E è il solido, contenuto nel semispazio $z>=0$, delimitato dal cilindro di equazione $x^2+y^2=x$ e dal cono di equazione $x^2+y^2=z^2$, per calcolare l'integrale su E di $(x^2+y^2)^(1/2)$ passiamo a coordinate cilindriche. In tali coordinate il cono ha equazione $\rho=¦z¦$. Il solido E è allora l'immagine, tramite la trasformazione in coordinate cilindriche, della regione ${(\rho, \alpha, z): 0<=\rho<=cos \alpha, -\pi/2<= \alpha <= \pi/2, 0 <= z <= \rho}$
Prima di tutto l'equazione $x^2+y^2=x$ non mi sembra quella di un cilindro!?!?!
Secondo, qualcuno di voi mi sa spiegare in modo comprensibile come fa ad ottenere quella regione, che dovrebbe essere quella del volume fra il cono e il cilindro???
Grazie infinite!
Risposte
forse così sembra più chiaro$(x-\frac{1}{2})^2+y^2=-\frac{1}{4}$
"ELWOOD":
forse così sembra più chiaro$(x-\frac{1}{2})^2+y^2=-\frac{1}{4}$
mmm
bè se ti immagini la regione hai il cilindro e sopra "l'ala" del cono....per passare alle cilindriche devi riconoscere come varieranno le nuove coordinate...$\alpha$ credo tu l'abbia capito, $z$ va dal piano $z=0$ alla funzione che sta sopra rispettivamente "trasforamata" in c.cilindriche.
Il raggio invece è una trasformazione notevole in quanto varia in base alla curvatura dell'ala che pui descrivere tramite l'angolo con il coseno
Il raggio invece è una trasformazione notevole in quanto varia in base alla curvatura dell'ala che pui descrivere tramite l'angolo con il coseno
"Lando":
[quote="ELWOOD"]forse così sembra più chiaro$(x-\frac{1}{2})^2+y^2=-\frac{1}{4}$
mmm
[/quote]scusa, vedo di essere un pò più chiaro....
l'equazione sandard di un cilindro è $((x-x_0)^2)/(a^2)+((y-y_0)^2)/(b^2)=k$
il primo membro si riferisce alla circonferenza di base centrata in $y_0,x_0$
Dunque rifacendoti alla tua equazione cerchiamo di riordinarla e aggiustarla in modo da averne una simile....se porti dall'altra la $x$ e aggiungendo $1/4$ riesci a costruirti il quadrato $(x-1/2)^2$ e ora assomiglia decisamente di più ad un cilindro....
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