Integrale su $R^3$ con parametro
ciao a tutti,
in genere sono abbastanza capace di fare gli integrali multidimensionali quando in mezzo non ho parametri vari, ma appena ne ho anche solo uno, non capisco più nulla
ora ho i fronte un integralino semplice nell'aspetto, il mio problema però è proprio come risolverlo tenendo conto del parametro. eccolo:
$int_E |z-k|dxdydz$
da integrare sulla sfera unitaria: $E ={x^2+y^2+z^2<=1}$
e $k$ è un parametro reale positivo: $k>=0$
io ho pensato di risolverlo usando le coordinate cilindriche, per cui ho: $\hat{E} = {0 <= \theta <= 2\pi, 0<= \rho <= 1, -\sqrt{1-\rho^2}<=z<=\sqrt{1-\rho^2}}$. e l'elemento di misura diventa $dxdydz = \rho d\rho d\theta dz$
faccio un ulteriore cambio di variabile: $z-k = t$, e quindi in definitiva ottengo:
$\int_\hat{E}|t|\rho d\rho d\theta dt$
da integrare su:
$\hat{E} = {0 <= \theta <= 2\pi, 0<= \rho <= 1, -\sqrt{1-\rho^2}-k<=t<=\sqrt{1-\rho^2}-k}$
fin qui ho fatto più o meno solo passaggi abbastanza formali. ora il mio problema sta proprio nel risolvere nel concreto l'integrale. l'unica idea che mi viene in mente, è spezzare l'integrale in due parti in base ai valori assunti da $t$:
$\int_\hat{E}|t|\rho d\rho d\theta dt = 2\pi \[\int_0^1\rho d\rho \int_0^\{sqrt{1-\rho^2}-k} t dt + \int_0^1\rho d\rho \int_\{-sqrt{1-\rho^2}-k}^0 (-t) dt \]$
è sensato fare così? l'unica constatazione che riesco a fare e che è coerente con quanto mi aspetto è che, quando $k=0$, l'ultimo passaggio che ho scritto si traduce nella somma di due integrali uguali. e questo è appunto coerente con quel che avrei fatto se nell'integrale iniziale non avessi avuto il parametro $k$ (e cioè se $k=0$).
oserei anche dire che quando $k=1$, il secondo integrale dovrebbe darmi $0$ perchè la sfera $\hat{E}$ sarebbe contenuta nel semispazio $t>=0$. questo posso verificarlo facendo i conti, ma preferisco sapere più semplicemente se ho ragionato in modo corretto piuttosto che ottenere magari per fortuna che i conti tornano anche per $k=1$ e poi scoprire che è solo una coincidenza
vi sembra quindi tutto corretto nel mio ragionamento?
in genere sono abbastanza capace di fare gli integrali multidimensionali quando in mezzo non ho parametri vari, ma appena ne ho anche solo uno, non capisco più nulla
ora ho i fronte un integralino semplice nell'aspetto, il mio problema però è proprio come risolverlo tenendo conto del parametro. eccolo:
$int_E |z-k|dxdydz$
da integrare sulla sfera unitaria: $E ={x^2+y^2+z^2<=1}$
e $k$ è un parametro reale positivo: $k>=0$
io ho pensato di risolverlo usando le coordinate cilindriche, per cui ho: $\hat{E} = {0 <= \theta <= 2\pi, 0<= \rho <= 1, -\sqrt{1-\rho^2}<=z<=\sqrt{1-\rho^2}}$. e l'elemento di misura diventa $dxdydz = \rho d\rho d\theta dz$
faccio un ulteriore cambio di variabile: $z-k = t$, e quindi in definitiva ottengo:
$\int_\hat{E}|t|\rho d\rho d\theta dt$
da integrare su:
$\hat{E} = {0 <= \theta <= 2\pi, 0<= \rho <= 1, -\sqrt{1-\rho^2}-k<=t<=\sqrt{1-\rho^2}-k}$
fin qui ho fatto più o meno solo passaggi abbastanza formali. ora il mio problema sta proprio nel risolvere nel concreto l'integrale. l'unica idea che mi viene in mente, è spezzare l'integrale in due parti in base ai valori assunti da $t$:
$\int_\hat{E}|t|\rho d\rho d\theta dt = 2\pi \[\int_0^1\rho d\rho \int_0^\{sqrt{1-\rho^2}-k} t dt + \int_0^1\rho d\rho \int_\{-sqrt{1-\rho^2}-k}^0 (-t) dt \]$
è sensato fare così? l'unica constatazione che riesco a fare e che è coerente con quanto mi aspetto è che, quando $k=0$, l'ultimo passaggio che ho scritto si traduce nella somma di due integrali uguali. e questo è appunto coerente con quel che avrei fatto se nell'integrale iniziale non avessi avuto il parametro $k$ (e cioè se $k=0$).
oserei anche dire che quando $k=1$, il secondo integrale dovrebbe darmi $0$ perchè la sfera $\hat{E}$ sarebbe contenuta nel semispazio $t>=0$. questo posso verificarlo facendo i conti, ma preferisco sapere più semplicemente se ho ragionato in modo corretto piuttosto che ottenere magari per fortuna che i conti tornano anche per $k=1$ e poi scoprire che è solo una coincidenza
vi sembra quindi tutto corretto nel mio ragionamento?
Risposte
scusa la risposta tardiva. sono stato tutto il giorno in università a fare esercizi. domani ho un esamuccio su ste cose 
allora, innanzitutto grazie per l'illuminazione. non vedevo proprio la possibilità di integrare prima in $\rho$ e solo dopo in $z$. quindi si, mi torna tutto nel tuo procedimento e, per la forma assunta ora dall'integrale, direi che, senza farmi troppi scrupoli, lo eguaglierei alla somma di due integrali, i seguenti:
$z>k => \pi \int_k^1 (z-k)(1-z^2) = \pi [\frac{z^2}{k} - \frac{z^4}{4} - kz + k\frac{z^3}{3}]_k^1$
$z \pi \int_-1^k (-z+k)(1-z^2) = \pi [-\frac{z^2}{k} + \frac{z^4}{4} + kz - k\frac{z^3}{3}]_-1^k$
la soluzione è somma di questi due integrali come ho detto.
e.. boh insomma... non vedo $k$ particolari per i quali è necessario fare particolari osservazioni. posso al più dire che, quando:
- $k=0$, l'integrale iniziale è uguale al doppio dell'integrale della stessa integranda senza modulo e con $0<=z<=1$: $\int_E |z-k|d^3x = 2\int_{E/2}(z-k)d^3x$, dove con $E/2$ intendo la semisfera positiva.
- $k=1$, il primo integrale che ho scritto qui sopra è $0$ dato che sto integrando su un intervallo che è... un punto.
non vedo nient'altro di strano o.O
al più l'integrale può valere $0$ per qualche valore di $k$, ma insomma... non mi importa studiare nei dettagli la funzione $k->\int_Ef_k(z)d^3x$. volevo più che altro capire meglio come affrontare questo tipo di integrali
se non ho preso cantonate o non ho visto qualcosa, ti prego di dirmelo, perchè per me l'esercizio risulta praticamente concluso così
grazie per l'aiuto
allora, innanzitutto grazie per l'illuminazione. non vedevo proprio la possibilità di integrare prima in $\rho$ e solo dopo in $z$. quindi si, mi torna tutto nel tuo procedimento e, per la forma assunta ora dall'integrale, direi che, senza farmi troppi scrupoli, lo eguaglierei alla somma di due integrali, i seguenti:
$z>k => \pi \int_k^1 (z-k)(1-z^2) = \pi [\frac{z^2}{k} - \frac{z^4}{4} - kz + k\frac{z^3}{3}]_k^1$
$z
la soluzione è somma di questi due integrali come ho detto.
e.. boh insomma... non vedo $k$ particolari per i quali è necessario fare particolari osservazioni. posso al più dire che, quando:
- $k=0$, l'integrale iniziale è uguale al doppio dell'integrale della stessa integranda senza modulo e con $0<=z<=1$: $\int_E |z-k|d^3x = 2\int_{E/2}(z-k)d^3x$, dove con $E/2$ intendo la semisfera positiva.
- $k=1$, il primo integrale che ho scritto qui sopra è $0$ dato che sto integrando su un intervallo che è... un punto.
non vedo nient'altro di strano o.O
al più l'integrale può valere $0$ per qualche valore di $k$, ma insomma... non mi importa studiare nei dettagli la funzione $k->\int_Ef_k(z)d^3x$. volevo più che altro capire meglio come affrontare questo tipo di integrali
se non ho preso cantonate o non ho visto qualcosa, ti prego di dirmelo, perchè per me l'esercizio risulta praticamente concluso così
grazie per l'aiuto
"TeM":
Il problema è che non stai affrontando l'esercizio nel modo corretto.
[...]
L'esercizio può dirsi concluso
e io posso dirmi "bocciato" :\
uff... -.-
quanto odio ormai analisi II
ok allora. devo stare più attento a non considerare valori che mi facciano uscire dal dominio di integrazione, che devo invece studiare a parte. mi pare di dedurre questo almeno
grazie per le dritte Tem. ora però setto il cervello in modalità "risparmio energetico" dopo tutti sti esercizi di oggi. sono stanco ç.ç
grazie davvero comunque
mediterò
uhm... è che sento di non aver avuto il modo di preparare una scaletta per questa tipologia di esercizi. nel senso che a lezione abbiamo visto in tutto un solo integrale con parametro. è pur vero che niente e nessuno può giustificare una mia personale mancanza e che io comunque non amo affatto deresponsabilizzarmi a scapito di altri. resta il fatto che... beh, posso dire che avrei gradito una piccola attenzione in più per questo tipo di integrali
ma vabbeh, fa niente insomma. se domani mi ritrovo un integrale di questo tipo... beh, sicuramente qualche improperio mi verrà in testa ^^ ma perchè son poco ferrato su come farli. in ogni caso, in un modo o nell'altro, qualcosa penso caverò fuori.
crepi il lupo
a te invece grazie per avermi aiutato
ma vabbeh, fa niente insomma. se domani mi ritrovo un integrale di questo tipo... beh, sicuramente qualche improperio mi verrà in testa ^^ ma perchè son poco ferrato su come farli. in ogni caso, in un modo o nell'altro, qualcosa penso caverò fuori.
crepi il lupo
a te invece grazie per avermi aiutato
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