Integrale su R^2
Salve, avrei bisogno di una mano per risolvere un esercizio, sono sicuro di aver fatto qualche erroraccio ma non riesco a capire dove. 
Si tratta di questo integrale:
$\int_{RR^2}e^{-||x||^2}dx$ la cui soluzione data dal prof è $pi$
Dato che $||x||^2=(sqrt(x_1^2+x_2^2))^2=x_1^2+x_2^2$
Passo alle coordinate cilindriche:
$\{(x_1=rho*cos(theta)),(x_2=rho*sin(theta)):}$
E quindi:
$\int_{RR^2}e^{-||x||^2}dx=int_0^{2pi} int_0^{+infty} e^{-rho^2}rhodrhod theta=2piint_0^{+infty} e^{-rho^2}rhodrho$
Faccio la sostituzione:
$rho=sqrt(ln(y))$ da cui $drho=(1/(ysqrtln(y)))dy$ e aggiusto gli estremi di integrazione:
$2piint_{ln(0)}^{ln(+infty)} e^{-ln(y)}sqrt(ln(y))(1/(ysqrtln(y)))dy=2piint_{-infty}^{+infty} (1/y^2)dy$
Infine:
$2piint_{-infty}^{+infty} (1/y^2)dy=2pi[-y^(-1)]_{-infty}^{+infty}=2pi(-1/(+infty)+1/(-infty))=2pi*0=0!=pi$
Dove ho sbagliato ?
Si tratta di questo integrale:
$\int_{RR^2}e^{-||x||^2}dx$ la cui soluzione data dal prof è $pi$
Dato che $||x||^2=(sqrt(x_1^2+x_2^2))^2=x_1^2+x_2^2$
Passo alle coordinate cilindriche:
$\{(x_1=rho*cos(theta)),(x_2=rho*sin(theta)):}$
E quindi:
$\int_{RR^2}e^{-||x||^2}dx=int_0^{2pi} int_0^{+infty} e^{-rho^2}rhodrhod theta=2piint_0^{+infty} e^{-rho^2}rhodrho$
Faccio la sostituzione:
$rho=sqrt(ln(y))$ da cui $drho=(1/(ysqrtln(y)))dy$ e aggiusto gli estremi di integrazione:
$2piint_{ln(0)}^{ln(+infty)} e^{-ln(y)}sqrt(ln(y))(1/(ysqrtln(y)))dy=2piint_{-infty}^{+infty} (1/y^2)dy$
Infine:
$2piint_{-infty}^{+infty} (1/y^2)dy=2pi[-y^(-1)]_{-infty}^{+infty}=2pi(-1/(+infty)+1/(-infty))=2pi*0=0!=pi$
Dove ho sbagliato ?
Risposte
Non so da dove tu abbia tirato fuori $1/y^2$ ma quando scrivi
\[
\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{y^2}\, dy=0\]
stai commettendo molti errori insieme. Per prima cosa, l'integranda è una funzione strettamente positiva, quindi l'integrale non può annullarsi e dovresti accorgerti a vista dell'errore. Poi, nota che quella funzione ha una singolarità in $0$ quindi non puoi usare così il teorema fondamentale del calcolo integrale. E infatti, se ti fai per bene i conti, quell'integrale non converge.
Il problema è quella sostituzione che hai fatto. Vedi bene gli estremi. Non fare le cose a macchinetta, ragiona su ogni passaggio, altrimenti commetti errori pesanti.
\[
\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{y^2}\, dy=0\]
stai commettendo molti errori insieme. Per prima cosa, l'integranda è una funzione strettamente positiva, quindi l'integrale non può annullarsi e dovresti accorgerti a vista dell'errore. Poi, nota che quella funzione ha una singolarità in $0$ quindi non puoi usare così il teorema fondamentale del calcolo integrale. E infatti, se ti fai per bene i conti, quell'integrale non converge.
Il problema è quella sostituzione che hai fatto. Vedi bene gli estremi. Non fare le cose a macchinetta, ragiona su ogni passaggio, altrimenti commetti errori pesanti.
Ok, penso di esserci arrivato, o almeno così facendo il risultato torna.
Ripartendo da:
$2piint_0^{+infty} e^{-rho^2}rhodrho$
Faccio la sostituzione $rho=sqrty$ ottenendo:
$2piint_0^{+infty} e^{-y}sqrty(1/{2sqrty})dy=piint_0^{+infty}1/{e^y}dy=pi[-1/{e^y}]_0^{+infty}=pi[-1/{e^infty}+1/{e^0}]=pi$
Ripartendo da:
$2piint_0^{+infty} e^{-rho^2}rhodrho$
Faccio la sostituzione $rho=sqrty$ ottenendo:
$2piint_0^{+infty} e^{-y}sqrty(1/{2sqrty})dy=piint_0^{+infty}1/{e^y}dy=pi[-1/{e^y}]_0^{+infty}=pi[-1/{e^infty}+1/{e^0}]=pi$
Questo va bene. Ma andava bene pure quello di prima, dovevi solo stare più attento nella sostituzione. Quando scrivi
\[
r=\log y,
\]
con \(r\in (0, \infty)\), in che intervallo deve variare la \(y\)? Tu hai scritto \(y\in (-\infty, \infty)\), che è sbagliato.
\[
r=\log y,
\]
con \(r\in (0, \infty)\), in che intervallo deve variare la \(y\)? Tu hai scritto \(y\in (-\infty, \infty)\), che è sbagliato.
il risultato non dovrebbe essere $(\sqrt(\pi))/(2)$
mi ricordo che la nostra prof a lezione ci ha fatto vedere questo risultato $ \int_(-\infty)^(+\infty) e^(-x^2)dx=\sqrt(\pi) $
che poi ci ha detto.. che se lo vedete così..ovviamente si ha $ \int_(0)^(+\infty) e^(-x^2)dx=\sqrt(\pi)/2 $
mi ricordo che la nostra prof a lezione ci ha fatto vedere questo risultato $ \int_(-\infty)^(+\infty) e^(-x^2)dx=\sqrt(\pi) $
che poi ci ha detto.. che se lo vedete così..ovviamente si ha $ \int_(0)^(+\infty) e^(-x^2)dx=\sqrt(\pi)/2 $
A questo punto...
[ot]Problema:
Fissato \(N\in \mathbb{N}\) e posto come al solito \(|\mathbf{x}| = \sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_N^2}\), calcolare:
\[
\intop_{\mathbb{R}^N} e^{-|\mathbf{x}|^2}\ \text{d} \mathbf{x}\; .
\][/ot]
[ot]Problema:
Fissato \(N\in \mathbb{N}\) e posto come al solito \(|\mathbf{x}| = \sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_N^2}\), calcolare:
\[
\intop_{\mathbb{R}^N} e^{-|\mathbf{x}|^2}\ \text{d} \mathbf{x}\; .
\][/ot]
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