Integrale strano

[zlatanswedish]

ho problemi con questo integrale mi potete aiutare?
1/e^2x+1

[Camillo]

Intendi : $ intdx/e^(2x+1)= inte^-(2x+1)*dx $ ?
E' quasi immediato...

[zlatanswedish]

no intendo 1/(e alla 2x)+1 dx scusami ma non ho i font corretti e quindi te lo scrivo cosi spero che tu capisca

[Camillo]

Così? $ int dx/(e^(2x)+1) $
Se è cos' poni : $ e^(2x) +1 = t $ e quindi per sostituzione

[fireball1]

Alternativamente:
$int (dx)/(e^(2x)+1) = int (e^(2x)+1-e^(2x))/(e^(2x)+1) dx = int dx - int (e^(2x))/(e^(2x)+1) dx = x - 1/2 int (2e^(2x))/(e^(2x)+1) dx= x - 1/2 log(e^(2x)+1)

[zlatanswedish]

si ok camillo pero quando arrivo a una certa forma non so piu integrare dovrebbe essere poi una razionale fratta.....ma col metodo a e b particolare

[zlatanswedish]

fireball mi puoi spiegare un po meglio perchè viene x-1/2 fuori dall'integrale?

[Camillo]

Si arriva infatti a : $ 1/2*int 1/t*dt/(t-1) $. Bisogna quindi scomporre $1/t*1/(t-1)$ nella somma di due frazioni , ponendo :
$ 1/t*1/(t-1) = A/t+B/(t-1) = (At+Bt-A)/(t*(t-1)) $ da cui, per il rpincipio di identità dei polinomi si ottiene il sistema :

$A+B = 0 $
$-A = 1 $
E infine : $ A =-1, B=1 $.
Si tratta allora di calcolare :
$ - 1/2*int dt/t +1/2 int dt/(t-1) $ , di immediata soluzione .

[Camillo]

Il calcolo di fireball è $ (e^(2x)+1-e^(2x))/(e^(2x)+1)= 1- (e^(2x))/(e^(2x)+1) $ e quindi integrando ottieni $ x-1/2*log(e^(2x)+1)$

[zlatanswedish]

ok grazie siete stati molto gentili