Integrale sqrt(x^2-9)
ciao a tutti,
sto cercando di risolvere questo integrale: $int sqrt(x^2-9)$ ma non riesco a portarlo a termine.
La prima cosa che ho fatto è stato sostituire $sqrt(x^2-9)=t$ a questo punto $x=t^2+9$ e $dx=1/(t^2+9)$
Andando a sostituire trovo: $int sqrt(x^2-9) dx $ = $int t 1/(t^2+9) dt $ = $ int t/(t^2-9) dt$ .
A questo punto mi blocco e non riesco più ad andare avanti. qualche consiglio? grazie.
sto cercando di risolvere questo integrale: $int sqrt(x^2-9)$ ma non riesco a portarlo a termine.
La prima cosa che ho fatto è stato sostituire $sqrt(x^2-9)=t$ a questo punto $x=t^2+9$ e $dx=1/(t^2+9)$
Andando a sostituire trovo: $int sqrt(x^2-9) dx $ = $int t 1/(t^2+9) dt $ = $ int t/(t^2-9) dt$ .
A questo punto mi blocco e non riesco più ad andare avanti. qualche consiglio? grazie.
Risposte
"l0r3nzo":
$int t 1/(t^2+9) dt $ = $ int t/(t^2-9) dt$ .
A questo punto mi blocco e non riesco più ad andare avanti. qualche consiglio? grazie.
scusa ma non è (quasi) del tipo $f'/f$?
quel "quasi" cambia tutto. per avere quella soluzione, fantastica, li, servirebbe: $(2t)/(t^2-9)$. per avere un 2t dovrei aggiungere e sottrarre un t, e mi ritroverei con
$int (2t)/(t^2-9) - t/(t^2-9)$
e sinceramente non vedo dov'è il guadagno
$int (2t)/(t^2-9) - t/(t^2-9)$
e sinceramente non vedo dov'è il guadagno
"l0r3nzo":
$ int t/(t^2-9) dt$ .
forse ho letto male, ma mi sembra che la $t$ al numeratore ci sia...manca solo il $2$ che non mi sembra sto gran problema...
ma scusa, quel che ho scritto sopra non è corretto? a me sembra che mettere un 2t non crei alcuna facilità.
"l0r3nzo":
[...]
La prima cosa che ho fatto è stato sostituire $sqrt(x^2-9)=t$ a questo punto $x=t^2+9$ e $dx=1/(t^2+9)$
[...]
A me risulta tutt'al più \(x^{2}=t^{2} +9\)
"Delirium":
[quote="l0r3nzo"][...]
La prima cosa che ho fatto è stato sostituire $sqrt(x^2-9)=t$ a questo punto $x=t^2+9$ e $dx=1/(t^2+9)$
[...]
A me risulta tutt'al più \(x^{2}=t^{2} +9\)[/quote]
esattamente, poi per ricavare la x viene $x=sqrt(x^2+9)$
\(|x|=\sqrt{t^{2}+9}\) quindi \(dx=\frac{1}{2} \cdot \frac{2t}{\sqrt{t^{2}+9}} dt=\frac{t}{\sqrt{t^{2}+9}}dt\), che è differente da quello che hai trovato più sopra.
Appunto e non mi pare torni l'integrale che hai scritto tu dopo quella sostituzione, che in ogni caso non serve.
Mi sa che non c'è altra via che raccogliere un $3$ così $3 sqrt( (x/3)^2 - 1)$, e sostituire $x/3= Ch t$.
Mi sa che non c'è altra via che raccogliere un $3$ così $3 sqrt( (x/3)^2 - 1)$, e sostituire $x/3= Ch t$.
ecco l'errore! grazie! ora mi si forma quel 2t ricercato e diventa facile l'integrale.
grazie!!!
grazie!!!
In realtà dopo la sostituzione che hai proposto ottieni questo integrale: \[\int \frac{t^{2}}{\sqrt{t^{2}+9}} \, dt\] Sei sicuro che sia così immediato?
no mi sono ribloccato un'altra volta.
..
"Giuly19":..
Appunto e non mi pare torni l'integrale che hai scritto tu dopo quella sostituzione, che in ogni caso non serve.
Mi sa che non c'è altra via che raccogliere un $3$ così $3 sqrt( (x/3)^2 - 1)$, e sostituire $x/3= Ch t$.
"Giuly19":..[/quote]
..[quote="Giuly19"]Appunto e non mi pare torni l'integrale che hai scritto tu dopo quella sostituzione, che in ogni caso non serve.
Mi sa che non c'è altra via che raccogliere un $3$ così $3 sqrt( (x/3)^2 - 1)$, e sostituire $x/3= Ch t$.
non conosco cosa sia $Ch t$, non l'ho mai usato e non vorrei addentrarmi in un nuovo campo che non conosco...
Immagino sia giusta la tua idea, ma se il mio prof ha messo questo integrali in mezzo agli esercizi che si risolvono con altri metodi un motivo, spero, ci sarà.
Probabilmente devi servirti delle funzioni iperboliche; ricordando infatti che \((\cosh \, t)^{2} - (\sinh \, t)^{2}=1 \ \rightarrow \ (\sinh \, t)^{2}=(\cosh \, t)^{2} -1 \), potresti porre \(x^{2}=9(\cosh \, t)^{2}\) e vedere cosa succede.
Potresti optare per questa risoluzione:
-integrale notevole(cercalo in questo sito quello che fa per te: http://www.math.it/formulario/integrali.htm)
-integrazione per parti e vedi cosa viene. ti do l'impostazione poi continui tu:
$\int sqrt(x^2-9) dx=x sqrt(x^2-9)-$$\int x^2/sqrt(x^2-9) dx=x sqrt(x^2-9)-$$\int (x^2-9+9)/sqrt(x^2-9) dx=x sqrt(x^2-9)-$$\int sqrt(x^2-9) dx-$$\int 9/sqrt(x^2-9)$
ora vedi un po' tu..
-integrale notevole(cercalo in questo sito quello che fa per te: http://www.math.it/formulario/integrali.htm)
-integrazione per parti e vedi cosa viene. ti do l'impostazione poi continui tu:
$\int sqrt(x^2-9) dx=x sqrt(x^2-9)-$$\int x^2/sqrt(x^2-9) dx=x sqrt(x^2-9)-$$\int (x^2-9+9)/sqrt(x^2-9) dx=x sqrt(x^2-9)-$$\int sqrt(x^2-9) dx-$$\int 9/sqrt(x^2-9)$
ora vedi un po' tu..
"Delirium":
potresti porre \(x=9(\cosh \, t)^{2}\) e vedere cosa succede.
Se intendi $x^2=9cosh^2 t$ allora è giusto.
Comunque non mi risulta esserci un altro modo di integrare quella funzione, con l'integrazione per parti non sono sicuro si riesca a concludere qualcosa.
Una svista, scusami. Ho editato.
"Lory90":
Potresti optare per questa risoluzione:
-integrale notevole(cercalo in questo sito quello che fa per te: http://www.math.it/formulario/integrali.htm)
-integrazione per parti e vedi cosa viene. ti do l'impostazione poi continui tu:
$\int sqrt(x^2-9) dx=x sqrt(x^2-9)-$$\int x^2/sqrt(x^2-9) dx=x sqrt(x^2-9)-$$\int (x^2-9+9)/sqrt(x^2-9) dx=x sqrt(x^2-9)-$$\int sqrt(x^2-9) dx-$$\int 9/sqrt(x^2-9)$
ora vedi un po' tu..
non ne abbiate a male, anzi grazie mille per aver dato così tante possibilità, ma penso che la soluzione, che ha pensato il professore, sia proprio questa in quanto la soluzione dell'esercizio è: $ (xsqrt(x^2-9))/2 - (lnsqrt(x^2-9)+x)/2 + k $
grazie per il link del formulario degli integrali
Prego ma comunque sappi che quella sostituzione con il coseno iperbolico, è opportuno che tu te la vada a vedere perchè è da quella che puoi spiegare perchè poi l'integrale si risolve così. Si ok c'è la formula però c'è anche un opportuna sostituzione che te la fa ottenere. Ciao.
C'è un'altra sostituzione utile in questi casi, che è la seguente [tex]$\sqrt{x^2-9}=x+t$[/tex]: si ricava
[tex]$x^2-9=x^2+2xt+t^2\ \Rightarrow\ x=-\frac{t^2+9}{2t}$[/tex]
Da questa si ricava [tex]$dx=-\frac{t^2-9}{2t^2}\ dt$[/tex] e anche [tex]$\sqrt{x^2-9}=\frac{t^2-9}{2t}$[/tex] da cui l'integrale
[tex]$\int\sqrt{x^2-9}\ dx=-\int\frac{(t^2-9)^2}{4t^3}\ dt=-\frac{1}{4}\int\left(t-\frac{9}{t}+\frac{81}{t^3}\right)\ dt$[/tex]
Il resto è semplice.
[tex]$x^2-9=x^2+2xt+t^2\ \Rightarrow\ x=-\frac{t^2+9}{2t}$[/tex]
Da questa si ricava [tex]$dx=-\frac{t^2-9}{2t^2}\ dt$[/tex] e anche [tex]$\sqrt{x^2-9}=\frac{t^2-9}{2t}$[/tex] da cui l'integrale
[tex]$\int\sqrt{x^2-9}\ dx=-\int\frac{(t^2-9)^2}{4t^3}\ dt=-\frac{1}{4}\int\left(t-\frac{9}{t}+\frac{81}{t^3}\right)\ dt$[/tex]
Il resto è semplice.
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