Integrale sin(x)cos(x)
Buongiorno, devo svolgere $int_()^() sin(x)cos(x) dx$ integrando per parti.
Ho posto $f(x)=sin(x)$ e $g'(x)= cos(x)$ da cui $f'(x)=cos(x)$ e $g(x)=sin(x)$.
A questo punto ottengo $sin^2(x) - int_()^() sin(x)cos(x) dx$. Portando l'integrale a primo membro arrivo a $2int_()^() sin(x)cos(x)=sin^2(x)$ da cui $int_()^() sin(x)cos(x)=(sin^2(x))/2$. Volendo usare l'identità fondamentale della trigonometria posso arrivare a $int_()^() sin(x)cos(x)=(1-cos^2(x))/2$ che però è comunque diverso dal risultato che dovrebbe darmi l'integrale iniziale: $int_()^() sin(x)cos(x) dx=(-cos^2(x))/2$.
Qual è il problema?
Ho posto $f(x)=sin(x)$ e $g'(x)= cos(x)$ da cui $f'(x)=cos(x)$ e $g(x)=sin(x)$.
A questo punto ottengo $sin^2(x) - int_()^() sin(x)cos(x) dx$. Portando l'integrale a primo membro arrivo a $2int_()^() sin(x)cos(x)=sin^2(x)$ da cui $int_()^() sin(x)cos(x)=(sin^2(x))/2$. Volendo usare l'identità fondamentale della trigonometria posso arrivare a $int_()^() sin(x)cos(x)=(1-cos^2(x))/2$ che però è comunque diverso dal risultato che dovrebbe darmi l'integrale iniziale: $int_()^() sin(x)cos(x) dx=(-cos^2(x))/2$.
Qual è il problema?
Risposte
Dimentichi la costante di integrazione, stai svolgendo un integrale indefinito.
E' molto piu' semplice di quello che pensi, si puo' sfruttare la sostituzione, nel tuo caso
$ t = cosx , dt = -sinxdx $ , ottieni $ int-t dt = -[1/2t^2] = -cos^2x/2 $
$ t = cosx , dt = -sinxdx $ , ottieni $ int-t dt = -[1/2t^2] = -cos^2x/2 $
Il problema te l'ha già detto @filippodepaolis94
La soluzione è $sin^2(x)/2+C$ oppure $(1-cos^2(x))/2+C=-cos^2(x)/2+(1/2+C)=-cos^2(x)/2+C$
Costante +costante=costante
Puoi anche risolverlo per sostituzione come ha fatto @Oibaf96.
Oppure risolvere $1/2int sin(2x)dx=-cos(2x)/4+C$
Sono tutte soluzioni valide.
La soluzione è $sin^2(x)/2+C$ oppure $(1-cos^2(x))/2+C=-cos^2(x)/2+(1/2+C)=-cos^2(x)/2+C$
Costante +costante=costante
Puoi anche risolverlo per sostituzione come ha fatto @Oibaf96.
Oppure risolvere $1/2int sin(2x)dx=-cos(2x)/4+C$
Sono tutte soluzioni valide.
"Bokonon":
Il problema te l'ha già detto @filippodepaolis94
La soluzione è $sin^2(x)/2+C$ oppure $(1-cos^2(x))/2+C=-cos^2(x)/2+(1/2+C)=-cos^2(x)/2+C$
Costante +costante=costante
Puoi anche risolverlo per sostituzione come ha fatto @Oibaf96.
Oppure risolvere $1/2int sin(2x)dx=-cos(2x)/4+C$
Sono tutte soluzioni valide.
Sia con le formule di duplicazione che con la sostituzione l'avevo risolto ma volevo capire quale fosse l'errore/svista con l'integrazione per parti.
Grazie a tutti e tre

Ciao Lorenzo_99,
In definitiva non c'è alcun problema e la tua soluzione è corretta, a parte il fatto che hai omesso (non so quanto volontariamente...
) la costante di integrazione.
Da quello che hai scritto sembrerebbe che fossi obbligato a risolvere l'integrale proposto per parti (magari stai facendo l'integrazione per parti e questo è uno dei primi esercizi proposti): in caso contrario l'integrazione per parti sarebbe stata l'ultima che avrei scelto per un integrale del genere, mentre vanno molto meglio tutte quelle che ti hanno proposto coloro che mi hanno preceduto nella risposta.
"Lorenzo_99":
Qual è il problema?
In definitiva non c'è alcun problema e la tua soluzione è corretta, a parte il fatto che hai omesso (non so quanto volontariamente...

Da quello che hai scritto sembrerebbe che fossi obbligato a risolvere l'integrale proposto per parti (magari stai facendo l'integrazione per parti e questo è uno dei primi esercizi proposti): in caso contrario l'integrazione per parti sarebbe stata l'ultima che avrei scelto per un integrale del genere, mentre vanno molto meglio tutte quelle che ti hanno proposto coloro che mi hanno preceduto nella risposta.