Integrale si una forma differenziale lungo una curva

[Massenzio1]

Buongiorno, ho un dubbio su un esercizio di Analisi che chiede di calcolare l'integrale:

$\int_{gamma^-}w$

dove $ w(x,y) = (4x^5y+y+4x^3y^3)/(x^2+y^2) dx + (x^6-x+x^4y^2)/(x^2+y^2) dy$

e $gamma^-$ indica la curva di equazione cartesiana $ x^6+y^4=1 $ percorsa in senso orario.

Ho pensato di suddividere la forma differenziale nel seguente modo:

$ w(x,y) = ((4x^5y+4x^3y^3)/(x^2+y^2) dx + (x^6+x^4y^2)/(x^2+y^2) dy) + (y/(x^2+y^2) dx + (-x)/(x^2+y^2) dy) $

raccogliendo e semplificando ottengo che il primo addendo a destra diventa

$ 4x^3y dx + x^4 dy$ che è una forma differenziale esatta e perciò il suo integrale lungo la curva è nullo.

Mi rimane da calcolare l'integrale della seconda forma differenziale ma non so come parametrizzare la curva per impostarlo

[Lebesgue]

Puoi ad esempio notare che la forma $\omega = y/(x^2 + y^2) dx + (-x)/(x^2 + y^2) dy$ è chiusa (ma non esatta), dunque il suo integrale su due curve omotope con gli stessi estremi coincide.

A questo punto, puoi considerare la curva $\eta: x^2 + y^2 = 1$, omotopa a quella del testo, e calcolare $\int_\eta \omega$

[Massenzio1]

Perciò per concludere l'esercizio posso calcolare l'integrale

$\int_{eta^-}w$

parametrizzando $eta$ con $eta(t) = (cos(t),sin(t)), t in [0,2pi]$ e ottengo (ricordando che considero la curva percorsa in senso orario) che l'integrale iniziale coincide con quest'ultimo e vale $2pi$, giusto?

"Lebesgue":Puoi ad esempio notare che la forma $ \omega = y/(x^2 + y^2) dx + (-x)/(x^2 + y^2) dy $ è chiusa (ma non esatta), dunque il suo integrale su due curve omotope con gli stessi estremi coincide.

Dove posso trovare una dimostrazione di questa proprietà?

[Lebesgue]

Dato che la percorri in senso orario, sì, viene $2 \pi$.

Per una dimostrazione, puoi cercare su internet oppure vedere qui:
https://pagine.dm.unipi.it/gobbino/Tabl ... 8_L056.pdf
e qui:
https://pagine.dm.unipi.it/gobbino/Tabl ... 8_L055.pdf
o, più in generale, qui:
https://pagine.dm.unipi.it/gobbino/Home ... ttico.html (sezione Analisi 2 2017/18 Matematica)

[Massenzio1]

Grazie mille per le risposte