Integrale sen(x) in R
Verificare se l'integrale di sen(x) su R è nullo.
Arrivato a dimostrare che integrale di sen(x) è -cos(x) quando dice che è su R come procedo ?
Grazie
Arrivato a dimostrare che integrale di sen(x) è -cos(x) quando dice che è su R come procedo ?
Grazie
Risposte
La mia idea è un po' diversa:
siccome $ int_0^(2pi)sin(x)dx=0 $, e siccome il seno ha periodo $2pi$...
siccome $ int_0^(2pi)sin(x)dx=0 $, e siccome il seno ha periodo $2pi$...
Sappiamo che il seno si annulla ogni \(\displaystyle 2π \) ma non capisco l'intervallo da porre all'integrale quando dice su R ..\(\displaystyle -\infty , +\infty \) ?
oppure diciamo che direttamente non è integrabile in R?
oppure diciamo che direttamente non è integrabile in R?
Il seno è un funzione dispari. Quindi se \(\displaystyle A=\int_{0}^{\infty}\sin x\,dx \) allora \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\sin x\,dx = A-A = 0\) purché ovviamente \(\displaystyle A \) esista finito. Questo è un ragionamento che funziona anche con funzioni non periodiche.
quindi bisognava porre \(\displaystyle \int_{-∞}^{∞} \sin (x)\, dx = \sin(∞)-sin(-∞) \) che è uguale a 1 per il tuo ragionamento..Giusto?
Ho aggiunto uno spoiler mentre rispondervi. Comunque no, quello che hai scritto non ha alcun senso.
mm quindi rifacendoci alla domanda iniziale l'integrale di sen(x) su R è ....indefinito?
E' nullo, l'ha dimostrato poco sopra vict85
P.s. @vict85 è troppo tirare in ballo la periodicità, ma è comunque corretto il mio ragionamento?
P.s. @vict85 è troppo tirare in ballo la periodicità, ma è comunque corretto il mio ragionamento?
Ma non bisogna svolgere l'integrale?Cioè fare integrale del seno che è -cosx e poi sostituire i valori dell'intervallo?
Bisognerebbe specificare meglio cosa si intende per "integrale".
La funzione \(f(x) = \sin x\) non è integrabile su \(\mathbb{R}\) né in senso improprio (secondo Riemann), né secondo Lebesgue.
E' tuttavia integrabile in valore principale; come ha osservato vict85, essendo una funzione dispari si ha che
\[
\text{P.V.}\ \int_{-\infty}^{+\infty} \sin x\, dx := \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^R \sin x\, dx = 0.
\]
La funzione \(f(x) = \sin x\) non è integrabile su \(\mathbb{R}\) né in senso improprio (secondo Riemann), né secondo Lebesgue.
E' tuttavia integrabile in valore principale; come ha osservato vict85, essendo una funzione dispari si ha che
\[
\text{P.V.}\ \int_{-\infty}^{+\infty} \sin x\, dx := \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^R \sin x\, dx = 0.
\]
"Rigel":
Bisognerebbe specificare meglio cosa si intende per "integrale".
La funzione \(f(x) = \sin x\) non è integrabile su \(\mathbb{R}\) né in senso improprio (secondo Riemann), né secondo Lebesgue.
E' tuttavia integrabile in valore principale; come ha osservato vict85, essendo una funzione dispari si ha che
\[
\text{P.V.}\ \int_{-\infty}^{+\infty} \sin x\, dx := \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^R \sin x\, dx = 0.
\]
Questi passaggi mi sfuggono.Tu intendi che non è integrabile secondo Riemann in R però in [0,2pigreco] è integrabile giusto?Poi non mi è chiaro l'ultimo passaggio sul valore principale.
Essendo una funzione continua su tutto \(\mathbb{R}\) è Riemann-integrabile su ogni intervallo limitato.
Il "passaggio" sul valore principale è solo la definizione di valore principale; se non ne hai mai sentito parlare, puoi concludere tranquillamente che \(\sin x\) non è integrabile su tutto \(\mathbb{R}\).
Il "passaggio" sul valore principale è solo la definizione di valore principale; se non ne hai mai sentito parlare, puoi concludere tranquillamente che \(\sin x\) non è integrabile su tutto \(\mathbb{R}\).
Quindi in pratica per stabilire se una funzione è integrabile oppure no in un intervallo chiuso e limitato uso Riemann e ci sono.I miei dubbi sono:
-Come stabilisco se una funzione è integrabile in un intervallo aperto?
-Come stabilisco se una funzione è integrabile in un intervallo aperto con uno degli estremi(o tutti e 2) che sono infinito?
Esistono diciamo delle formule o leggi a riguardo?
PS:Se vuoi puoi rispondere anche nell'altro thread che ho aperto sugli integrali
-Come stabilisco se una funzione è integrabile in un intervallo aperto?
-Come stabilisco se una funzione è integrabile in un intervallo aperto con uno degli estremi(o tutti e 2) che sono infinito?
Esistono diciamo delle formule o leggi a riguardo?
PS:Se vuoi puoi rispondere anche nell'altro thread che ho aperto sugli integrali
"vict85":
Il seno è un funzione dispari. Quindi se \(\displaystyle A=\int_{0}^{\infty}\sin x\,dx \) allora \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\sin x\,dx = A-A = 0\) purché ovviamente \(\displaystyle A \) esista finito. Questo è un ragionamento che funziona anche con funzioni non periodiche.
Ho un dubbio solo sul fatto che \(\displaystyle \int_{0}^{\infty}\sin x\,dx=A \) ..io mi trovo svolgendo il limite per x->∞ di -cos(c)+cos(0)= 'nonesiste'+1 che fa 1?
Inizialmente avevo risposto velocemente, poi mi sono reso conto che il limite non esisteva. Il mio commento era illustrativo. Il senso era che se quel limite esisteva allora il risultato era quello. Ma non esistendo, allora non esiste neanche l'altro.
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