Integrale semplice, ma...

[chiara_genova]

..ho come al solito dei problemi a risolverlo

$int1/((x-2)(x+1))dx$

in questo caso, in cui il delta del polinomio è positivo e sono quindi in grado di trovare le soluzioni (che pertanto danno origine a quei due polinomi di primo grado moltiplicati fra loro), e al numeratore ho una costante, come devo procedere? grazie.

[_nicola de rosa]

Puoi scomporre in:
A/(x-2)+B/(x+1)
Col principio di identità dei polinomi trovi:
A=1/3 e B=-1/3. Integrando ottieni
1/3*ln(|(x-2)/(x+1)|)+C

[giuseppe87x]

$1/((x-2)(x+1))=A/(x-2)+B/(x+1)$ e poi principio di identità dei polinomi.

[chiara_genova]

ah, ok, quindi uso questo metodo anche se al numeratore c'è una costante? lo considero come se fosse un polinomio di primo grado con coefficiente della x uguale a zero? grazie

[_nicola de rosa]

ogmi qualvolta hai una funzione razionale fratta da integrare con il delta del denominatore maggiore di zero e grado del numeratore minore di quello del denominatore puoi scomporre in questo modo. Quindi ci sono due condizioni da soddisfare:
1) delta del denominatore maggiore di zero
2)grado del numeratore minore di quello del denominatore

[chiara_genova]

"nicasamarciano":Puoi scomporre in:
A/(x-2)+B/(x+1)
Col principio di identità dei polinomi trovi:
A=1/3 e B=-1/3. Integrando ottieni
1/3*ln(|(x-2)/(x+1)|)+C

però a me viene il contrario, ossia $A = -1/3$ e $B = 1/3$, perchè ragiono così:

$alpha = -2, beta = 1, g=0, e=1$

il sistema comprende:

$A+B = g$ e $-betaA-alphaB=e$

sostituendo trovo $A=-B$ e $B+2B=1$ e andando avanti quanto scritto sopra...giusto?

[_nicola de rosa]

Col principio di identità dei polinomi tu avrai:
A+B=0 e A-2B=1
da cui A=1/3 e B=-A=-1/3

[chiara_genova]

"nicasamarciano":ogmi qualvolta hai una funzione razionale fratta da integrare con il delta del denominatore maggiore di zero e grado del numeratore minore di quello del denominatore puoi scomporre in questo modo. Quindi ci sono due condizioni da soddisfare:
1) delta del denominatore maggiore di zero
2)grado del numeratore minore di quello del denominatore

ok

vi chiedo un'ultima cosa: caso in cui grado numeratore minore di quello del denominatore, distinguiamo:

- delta > 0 --> scomposizione appena vista
- delta = 0 --> ottengo $1/a int((gx+e)/(x-alpha)^2)$, dove a è il coefficiente della $x^2$ e $alpha$ la soluzione che trovo
- delta <0 --> potete dirmi qual'è la formula risolutiva (e se quella sopra è corretta)?

grazie mille a tutti

[chiara_genova]

"nicasamarciano":Col principio di identità dei polinomi tu avrai:
A+B=0 e A-2B=1
da cui A=1/3 e B=-A=-1/3

ok ok, ho sbagliato io una cosa! grazie mille!!

[_nicola de rosa]

Se il delta del denominatore è minore di zero allora la scomposizione è del tipo (Ax+B)/(polinomio con delta < 0).
Trovi A e B, scindi l'integrale in due parti di cui quello con numeratore Ax, opportunamente manipolato, darà come integrale un logartimo in base e, e l'altro con numeratore costante B, manipolando il denominatore mettendolo sotto forma
1+(f(x))^2, darà un arcotangente.

chiaro?

[chiara_genova]

ok, grazie!

[chiara_genova]

ehm..altro dubbio: se al denominatore ho un polinomio di grado maggiore al secondo? vi faccio un esempio:

$int1/((x-1)(x^2-2x+3))dx$

devo sempre scomporre? in che modo? grazie mille

[_nicola de rosa]

Allo stesso modo:
A/(x-1)+(Bx+C)/(x^2-2x+3)

[chiara_genova]

ok ci provo e posto la mia soluzione

[_nicola de rosa]

Trovi:
A=C=1/2, B=-1/2
e l'integrale diventa:
1/2*ln(|x-1|)-1/4*ln(x^2-2x+3)+K
Siamo stati fortunati che non abbiamo dovuto far ricorso all'arcotangente