Integrale.... sembra facile...
Ma ci vogliono le conoscenze che in putroppo non possiedo 
Allora ecco l'esercizio:
$int 1/sin(2x) dx$
Dopo molte ricerche ho SCOPERTO di poter trasformare grazie alle formule di duplicazione della trigonometria la funzione in questo modo:
$int 1/(2sinxcosx)$
Da questo punto in poi però non riesco ad andare avanti. L'esercizio chiede di essere risolto solo attraverso gli itegrali notevoli e quindi le formule di sostituzione e o per parti non possono essere applicate.
Grazie in anticipo!
Allora ecco l'esercizio:
$int 1/sin(2x) dx$
Dopo molte ricerche ho SCOPERTO di poter trasformare grazie alle formule di duplicazione della trigonometria la funzione in questo modo:
$int 1/(2sinxcosx)$
Da questo punto in poi però non riesco ad andare avanti. L'esercizio chiede di essere risolto solo attraverso gli itegrali notevoli e quindi le formule di sostituzione e o per parti non possono essere applicate.
Grazie in anticipo!
Risposte
Basta usare le formule parametriche:
$\sin(2x) = \frac{2 "tg"(x)}{1 + "tg"^2(x)}$
L'integrale dunque diventa
$\int \frac{1 + "tg"^2(x)}{2 "tg"(x)} dx$
Posto $t := "tg"(x)$, da cui $dt = (1 + "tg"^2(x)) dx$, si ottiene
$\int \frac{1}{2t} dt = \frac{1}{2} \ln(|t|) + c$
da cui
$\int \frac{1}{\sin(2x)} dx = \frac{1}{2} \ln(|"tg"(x)|) + c$
$\sin(2x) = \frac{2 "tg"(x)}{1 + "tg"^2(x)}$
L'integrale dunque diventa
$\int \frac{1 + "tg"^2(x)}{2 "tg"(x)} dx$
Posto $t := "tg"(x)$, da cui $dt = (1 + "tg"^2(x)) dx$, si ottiene
$\int \frac{1}{2t} dt = \frac{1}{2} \ln(|t|) + c$
da cui
$\int \frac{1}{\sin(2x)} dx = \frac{1}{2} \ln(|"tg"(x)|) + c$
"kenta88":
Ma ci vogliono le conoscenze che in putroppo non possiedo
Allora ecco l'esercizio:
$int 1/sin(2x) dx$
Dopo molte ricerche ho SCOPERTO di poter trasformare grazie alle formule di duplicazione della trigonometria la funzione in questo modo:
$int 1/(2sinxcosx)$
Da questo punto in poi però non riesco ad andare avanti. L'esercizio chiede di essere risolto solo attraverso gli itegrali notevoli e quindi le formule di sostituzione e o per parti non possono essere applicate.
Grazie in anticipo!
O magari anche senza formule parametriche, ti basta osservare che $D(ln|tg(x)|)=1/(sinxcosx)$, da cui $int dx/(2sinxcosx)=1/2 int dx/(sinxcosx)=1/2ln(|tgx|)+c$, che poi è praticamente la stessa cosa dettati da tipper, ma senza parametriche (nel caso non le potessi usare: ma di solito sono la scelta migliore per integrali di questo tipo).
"kenta88":
Ma ci vogliono le conoscenze che in putroppo non possiedo
Allora ecco l'esercizio:
$int 1/sin(2x) dx$
Dopo molte ricerche ho SCOPERTO di poter trasformare grazie alle formule di duplicazione della trigonometria la funzione in questo modo:
$int 1/(2sinxcosx)$
Da questo punto in poi però non riesco ad andare avanti. L'esercizio chiede di essere risolto solo attraverso gli itegrali notevoli e quindi le formule di sostituzione e o per parti non possono essere applicate.
Grazie in anticipo!
Senza sostituzione:
$1/(sin(2x))=(sin^2(x)+cos^2(x))/(2sin(x)cos(x))=1/2tg(x)+1/2cotg(x)$ per cui
$int1/(sin(2x))dx=1/2int tg(x)dx+1/2int cotg(x)dx=-1/2ln|cos(x)|+1/2ln|sin(x)|=1/2ln|tg(x)|+k$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo