Integrale secondo Riemann meno limitativo

[Pierlu11]

Una curiosità... Perché la teoria degli integrali di Riemann è basata su intervalli compatti? Come si può formalizzare il fatto che una funzione LIMITATA definita su $ (a,b] $ è integrabile? (C'entra qualcosa con la teoria della misura?)

Inoltre si può generalizzare la definizione di FUNZIONE INTEGRALE su l'unione di più intervalli non connessi e vederla comunque come primitiva della funzione integranda (sempre se questa è continua su quell'unione di intervalli non per forza compatti)?

Spero che le domande risultino chiare e che possiate aiutarmi...

[21zuclo]

"Pierlu11":Una curiosità... Perché la teoria degli integrali di Riemann è basata su intervalli compatti? Come si può formalizzare il fatto che una funzione LIMITATA definita su $ (a,b] $ è integrabile? (C'entra qualcosa con la teoria della misura?)

qui si va sugli integrali impropri, vi sono 3 tipi di integrali impropri,
prima specie ($f:(a,b]\to RR$), seconda specie ($f:[a,+\infty)\to RR$), terza specie (quegli integrali estesi a intervalli I, limitati o illimitati, contenenti n punti $a_1,....,a_n$ nel cui intorno la funzione integranda non è necessariamente limitata)

Esempio
-prima specie $\int_(0)^(+\infty)1/x dx$

- seconda specie $\int_(1)^(+\infty)(\sin x)/(x^2)dx$

- terza specie $\int_(0)^(1)(dt)/((1-t)^(1/3)\ln(1+t))$
quest'ultimo integrale NON esiste, fai i limiti per $t\to 0$ e $t\to 1$

[Paolo902]

"Pierlu11":Una curiosità... Perché la teoria degli integrali di Riemann è basata su intervalli compatti? Come si può formalizzare il fatto che una funzione LIMITATA definita su $ (a,b] $ è integrabile? (C'entra qualcosa con la teoria della misura?)

Occhio perché questa affermazione non è vera. La funzione di Dirichlet è limitata ma non Riemann integrabile; una funzione limitata su $[a,b]$ è Riemann integrabile sse l'insieme dei suoi punti di discontinuità ha misura di Lebesgue nulla (questo è il cosiddetto teorema di Vitali-Lebesgue).

[Pierlu11]

"21zuclo":[quote="Pierlu11"]Una curiosità... Perché la teoria degli integrali di Riemann è basata su intervalli compatti? Come si può formalizzare il fatto che una funzione LIMITATA definita su $ (a,b] $ è integrabile? (C'entra qualcosa con la teoria della misura?)

qui si va sugli integrali impropri, vi sono 3 tipi di integrali impropri,
prima specie ($ f:(a,b]\to RR $), seconda specie ($ f:[a,+\infty)\to RR $), terza specie (quegli integrali estesi a intervalli I, limitati o illimitati, contenenti n punti $ a_1,....,a_n $ nel cui intorno la funzione integranda non è necessariamente limitata)

Esempio
-prima specie $ \int_(0)^(+\infty)1/x dx $

- seconda specie $ \int_(1)^(+\infty)(\sin x)/(x^2)dx $

- terza specie $ \int_(0)^(1)(dt)/((1-t)^(1/3)\ln(1+t)) $
quest'ultimo integrale NON esiste, fai i limiti per $ t\to 0 $ e $ t\to 1 $[/quote]

Io parlo di una funzione limitata quindi non c'è bisogno di entrare nella teoria degli integrali impropri...

"Paolo90":[quote="Pierlu11"]Una curiosità... Perché la teoria degli integrali di Riemann è basata su intervalli compatti? Come si può formalizzare il fatto che una funzione LIMITATA definita su $ (a,b] $ è integrabile? (C'entra qualcosa con la teoria della misura?)

Occhio perché questa affermazione non è vera. La funzione di Dirichlet è limitata ma non Riemann integrabile; una funzione limitata su $ [a,b] $ è Riemann integrabile sse l'insieme dei suoi punti di discontinuità ha misura di Lebesgue nulla (questo è il cosiddetto teorema di Vitali-Lebesgue).[/quote]

Naturalmente intendo una funzione continua in $ (a,b] $...

[Kashaman]

"Pierlu11":Una curiosità... Perché la teoria degli integrali di Riemann è basata su intervalli compatti? Come si può formalizzare il fatto che una funzione LIMITATA definita su $ (a,b] $ è integrabile? (C'entra qualcosa con la teoria della misura?)

Parlo da profano e forse ti potrei dare una risposta stupida.. forse un motivo per cui non si parla di R integrabilità su di un intervallo qualsiasi di tipo $(a,b)$ sta nel fatto che non puoi ben definire una suddivisione di tale intervallo in quanto gli estremi non stanno nel suddetto. E non potendo definire le suddivisioni , non puoi definire le somme superiori e inferiori relative ad esse e di conseguenza non puoi parlare di contiguità (o meno) degli insiemi delle due somme.

Ti ricordo :
Sia $\phi : [a,b] -> RR$. limitata. detto $A={ S(\chi , f) | \chi \in \tau([a,b])}$ (insieme delle somme superiori) e $B={ s(\chi , f) | \chi \in \tau([a,b])}$ (insieme delle somme inferiori).
$f$ si dice Riemann integrabile se e solo se $A$ e $B$ sono insiemi contigui. [ Nota che $A$ e $B$ sono di per se separati in quanto si mostra facilmente che $B sube A$)
Cioè se e solo se $\forall \epsilon >0 EE X \in A , EE Y \in B t.c X-Y < \epsilon $

Come ti è stato fatto notare, comunque, non tutte le funzioni definite su un intervallo compatto sono integrabili. Un chiaro controesempio è fornito da quello di Paolo, ma puoi generalizzare.
Ad esempio se $J$ è un insieme denso in $RR$ , la funzione caratteristica di $J$ non è $R$ integrabile in nessun intervallo compatto. (provalo).
Tuttavia con sicurezza hai almeno due classi di funzioni per le quali sei sicuro dell'integrabilità, quelle continue e quelle monotone.
Si può estendere la teoria dell'integrazione per intervalli qualsiasi, come ti è stato fatto notare, ma è cosa un pochino diversa dalla integrabilità secondo Riemann.
Nella prima, parli di insiemi contigui e giochi con le somme, nella seconda hai un oggetto che è un tantino diverso dall'integrale di riemann.
Infatti,
data $f : (a,b] -> RR$ (ad esempio). $R$ integrabile in ogni $[x,b] sube (a,b)$
chiameremo $\int_a^b f(t)dt := lim_(x->a^+} \int_x^b f(t)dt$ (in buona sostanza è un limite.., l'espressione al cui interno ha senso proprio per l'ipotesi di integrabilità).
Come vedi, i due concetti sembrano simili, ma alla fine, suppongo, siano un po' diversi.

Spero di essermi spiegato sufficientemente e se ho detto troppe fesserie vi prego di correggermi.